[例4]函数 (x)=dfrac ((x+1)|x-1|)({e)^dfrac (1{x-2)}ln |x|} 的可去间断点的个数为-|||-(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.

考查要点：本题主要考查函数间断点的分类，特别是可去间断点的判断。需要掌握分段函数在不同点的连续性分析，以及极限的计算。

解题核心思路：

1. 确定间断点：找出函数无定义或不连续的点，即分母为零或函数表达式不连续的点。
2. 分类讨论：对每个间断点计算左右极限，判断是否存在有限极限。若存在且函数可补充定义使其连续，则为可去间断点；否则根据极限是否存在及是否为无穷分类为其他类型。

破题关键点：

• 分母分析：分母$e^{\frac{1}{x-2}} \ln |x|$为零或无定义的点为$x=0,2$。
• 分子分析：分子$(x+1)|x-1|$在$x=-1,1$处可能为零，需结合分母判断是否为可去间断点。
• 极限计算：特别注意$x=1$处左右极限是否相等，以及$x=2$处的极限是否存在。

1. 确定间断点

函数$f(x)$的间断点为：

• $x=0$：$\ln |x|$在$x=0$无定义。
• $x=-1$：分母$e^{\frac{1}{-1-2}} \ln |-1|=0$，分子也为0，需判断极限。
• $x=1$：分母$e^{\frac{1}{1-2}} \ln |1|=0$，分子也为0，需判断极限。
• $x=2$：分母$e^{\frac{1}{x-2}}$在$x=2$无定义。

2. 分析各间断点类型

(1) $x=0$

• 极限计算：
  $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}} \ln |x|}$
  分母$e^{\frac{1}{x-2}} \ln |x|$中，$\ln |x| \to -\infty$，分母整体趋向$-\infty$，分子趋向$1 \cdot 1 = 1$，故极限为$0$。
• 结论：极限存在且为$0$，故$x=0$为可去间断点。

(2) $x=-1$

• 极限计算：
  $\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \dfrac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}} \ln |x|}$
  分子$(x+1)|x-1| \to 0$，分母$e^{\frac{1}{-3}} \ln |-1| = 0$，需展开$\ln |x|$：
  令$x = -1 + h$，则$\ln |x| \approx -h$，分子$\approx 2h$，分母$\approx e^{-1/3}(-h)$，故极限为$\dfrac{2h}{-e^{-1/3}h} = -2e^{1/3}$。
• 结论：极限存在，故$x=-1$为可去间断点。

(3) $x=1$

• 左右极限计算：
  $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2e$，$\lim_{x \to 1^-} f(x) = -2e$，左右极限不相等。
• 结论：为跳跃间断点。

(4) $x=2$

• 左右极限计算：
  $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 0$，$\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$。
• 结论：为第二类间断点。