单选题 20/20 (5分)设overrightarrow(alpha_{1)}=(1,-1,2,-1),overrightarrow(alpha_{2)}=(-2,2,3,2),overrightarrow(alpha_{3)},试判断=(1,2,0,-1),overrightarrow(alpha_{4)}=(1,0,0,1)向量组overrightarrow(alpha_{1)},overrightarrow(alpha_{2)},overrightarrow(alpha_{3)},overrightarrow(alpha_{4)}是否为正交向量组.A. 是B. 不是

本题考查正交向量组的定义及向量内积的计算。解题思路是根据正交向量组的定义，判断向量组中任意两个不同向量的内积是否都为$0$，若都为$0$，则该向量组为正交向量组，否则不是。

下面我们来依次计算向量组$\overrightarrow{\alpha_{1}},\overrightarrow{\alpha_{2}},\overrightarrow{\alpha_{3}},\overrightarrow{\alpha_{4}}$中任意两个不同向量的内积：

• 计算$\overrightarrow{\alpha_{1}}\cdot\overrightarrow{\alpha_{2}}$：
  已知$\overrightarrow{\alpha_{1}}=(1,-1,2,-1)$，$\overrightarrow{\alpha_{2}}=(-2,2,3,2)$，根据向量内积的坐标运算公式$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1,w_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2,w_2)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 + w_1w_2$，可得：
  $\overrightarrow{\alpha_{1}}\cdot\overrightarrow{\alpha_{2}}=1\times(-2)+(-1)\times2 + 2\times3 + (-1)\times2$
  $=-2 - 2 + 6 - 2$
  $=0$
• 计算$\overrightarrow{\alpha_{1}}\cdot\overrightarrow{\alpha_{3}}$：
  已知$\overrightarrow{\alpha_{1}}=(1,-1,2,-1)$，$\overrightarrow{\alpha_{3}}=(1,2,0,-1)$，同理可得：
  $\overrightarrow{\alpha_{1}}\cdot\overrightarrow{\alpha_{3}}=1\times1+(-1)\times2 + 2\times0 + (-1)\times(-1)$
  $=1 - 2 + 0 + 1$
  $=0$
• 计算$\overrightarrow{\alpha_{1}}\cdot\overrightarrow{\alpha_{4}}$：
  已知$\overrightarrow{\alpha_{1}}=(1,-1,2,-1)$，$\overrightarrow{\alpha_{4}}=(1,0,0,1)$，同理可得：
  $\overrightarrow{\alpha_{1}}\cdot\overrightarrow{\alpha_{4}}=1\times1+(-1)\times0 + 2\times0 + (-1)\times1$
  $=1 + 0 + 0 - 1$
  $=0$
• 计算$\overrightarrow{\alpha_{2}}\cdot\overrightarrow{\alpha_{3}}$：
  已知$\overrightarrow{\alpha_{2}}=(-2,2,3,2)$，$\overrightarrow{\alpha_{3}}=(1,2,0,-1)$，同理可得：
  $\overrightarrow{\alpha_{2}}\cdot\overrightarrow{\alpha_{3}}=(-2)\times1+2\times2 + 3\times0 + 2\times(-1)$
  $=-2 + 4 + 0 - 2$
  $=0$
• 计算$\overrightarrow{\alpha_{2}}\cdot\overrightarrow{\alpha_{4}}$：
  已知$\overrightarrow{\alpha_{2}}=(-2,2,3,2)$，$\overrightarrow{\alpha_{4}}=(1,0,0,1)$，同理可得：
  $\overrightarrow{\alpha_{2}}\cdot\overrightarrow{\alpha_{4}}=(-2)\times1+2\times0 + 3\times0 + 2\times1$
  $=-2 + 0 + 0 + 2$
  $=0$
• 计算$\overrightarrow{\alpha_{3}}\cdot\overrightarrow{\alpha_{4}}$：
  已知$\overrightarrow{\alpha_{3}}=(1,2,0,-1)$，$\overrightarrow{\alpha_{4}}=(1,0,0,1)$，同理可得：
  $\overrightarrow{\alpha_{3}}\cdot\overrightarrow{\alpha_{4}}=1\times1+2\times0 + 0\times0 + (-1)\times1$
  $=1 + 0 + 0 - 1$
  $=0$

由于向量组$\overrightarrow{\alpha_{1}},\overrightarrow{\alpha_{2}},\overrightarrow{\alpha_{3}},\overrightarrow{\alpha_{4}}$中任意两个不同向量的内积都为$0$，所以该向量组是正交向量组。