12.一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω由曲面 =(x)^2+(y)^2 和平面-|||-=0, |x|=a, |y|=a 所围成.-|||-(1)求物体的体积;(2)求物体的质心;(3)求物体关于z轴的转动惯量.
题目解答
答案
解析
本题主要考查利用三重积分求解物体的体积、质心以及转动惯量，解题的关键在于根据给定的闭区域确定积分限，并运用相应的公式进行计算。
（1）求物体的体积
根据体积公式$V = \iiint_{\Omega} dV$，已知闭区域$\Omega$由曲面$z = x^2 + y^2$和平面$z = 0$，$\vert x\vert = a$，$\vert y\vert = a$所围成。
由于区域关于$x$轴和$y$轴对称，可先计算第一卦限部分的体积$V_1$，再乘以$4$得到总体积$V$。
在第一卦限中，$x$的范围是$0\leqslant x\leqslant a$，$y$的范围是$0\leqslant y\leqslant a$，$z$的范围是$0\leqslant z\leqslant x^2 + y^2$。
则$V_1 = \int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a}dy\int_{0}^{x^2 + y^2}dz$
先对$z$积分：
$\int_{0}^{x^2 + y^2}dz = z\big|_{0}^{x^2 + y^2} = x^2 + y^2$
再对$y$积分：
$\int_{0}^{a}(x^2 + y^2)dy = \int_{0}^{a}x^2dy + \int_{0}^{a}y^2dy = x^2y\big|_{0}^{a} + \frac{1}{3}y^3\big|_{0}^{a} = ax^2 + \frac{1}{3}a^3$
最后对$x$积分：
$\int_{0}^{a}(ax^2 + \frac{1}{3}a^3)dx = \int_{0}^{a}ax^2dx + \int_{0}^{a}\frac{1}{3}a^3dx = \frac{1}{3}ax^3\big|_{0}^{a} + \frac{1}{3}a^3x\big|_{0}^{a} = \frac{1}{3}a^4 + \frac{1}{3}a^4 = \frac{2}{3}a^4$
所以总体积$V = 4V_1 = 4\times\frac{2}{3}a^4 = \frac{8}{3}a^4$。
（2）求物体的质心
质心的$z$坐标公式为$\overline{z} = \frac{\iiint_{\Omega} z\rho dV}{\iiint_{\Omega} \rho dV}$，因为$\rho$为常量，且$\iiint_{\Omega} \rho dV = \rho V$，所以$\overline{z} = \frac{\iiint_{\Omega} z dV}{V}$。
同样先计算第一卦限部分的$\iiint_{\Omega_1} z dV$，再乘以$4$得到$\iiint_{\Omega} z dV$。
$\iiint_{\Omega_1} z dV = \int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a}dy\int_{0}^{x^2 + y^2}zdz$
先对$z$积分：
$\int_{0}^{x^2 + y^2}zdz = \frac{1}{2}z^2\big|_{0}^{x^2 + y^2} = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)^2 = \frac{1}{2}(x^4 + 2x^2y^2 + y^4)$
再对$y$积分：
$\int_{0}^{a}\frac{1}{2}(x^4 + 2x^2y^2 + y^4)dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{a}x^4dy + \int_{0}^{a}x^2y^2dy + \frac{1}{2}\int_{0}^{a}y^4dy$
$= \frac{1}{2}x^4y\big|_{0}^{a} + \frac{1}{3}x^2y^3\big|_{0}^{a} + \frac{1}{10}y^5\big|_{0}^{a} = \frac{1}{2}ax^4 + \frac{1}{3}a^3x^2 + \frac{1}{10}a^5$
最后对$x$积分：
$\int_{0}^{a}(\frac{1}{2}ax^4 + \frac{1}{3}a^3x^2 + \frac{1}{10}a^5)dx = \frac{1}{2}a\times\frac{1}{5}x^5\big|_{0}^{a} + \frac{1}{3}a^3\times\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{a} + \frac{1}{10}a^5x\big|_{0}^{a}$
$= \frac{1}{10}a^6 + \frac{1}{9}a^6 + \frac{1}{10}a^6 = \frac{9 + 10 + 9}{90}a^6 = \frac{28}{90}a^6 = \frac{14}{45}a^6$
则$\iiint_{\Omega} z dV = 4\times\frac{14}{45}a^6 = \frac{56}{45}a^6$。
所以$\overline{z} = \frac{\frac{56}{45}a^6}{\frac{8}{3}a^4} = \frac{56}{45}a^6\times\frac{3}{8a^4} = \frac{7}{15}a^2$。
（3）求物体关于$z$轴的转动惯量
根据转动惯量公式$I_z = \iiint_{\Omega} (x^2 + y^2)\rho dV$，同样先计算第一卦限部分的$\iiint_{\Omega_1} (x^2 + y^2) dV$，再乘以$4$得到$\iiint_{\Omega} (x^2 + y^2) dV$。
$\iiint_{\Omega_1} (x^2 + y^2) dV = \int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a}dy\int_{0}^{x^2 + y^2}(x^2 + y^2)dz$
先对$z$积分：
$\int_{0}^{x^2 + y^2}(x^2 + y^2)dz = (x^2 + y^2)z\big|_{0}^{x^2 + y^2} = (x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$
再对$y$积分：
$\int_{0}^{a}(x^4 + 2x^2y^2 + y^4)dy = \int_{0}^{a}x^4dy + 2\int_{0}^{a}x^2y^2dy + \int_{0}^{a}y^4dy$
$= x^4y\big|_{0}^{a} + 2\times\frac{1}{3}x^2y^3\big|_{0}^{a} + \frac{1}{5}y^5\big|_{0}^{a} = ax^4 + \frac{2}{3}a^3x^2 + \frac{1}{5}a^5$
最后对$x$积分：
$\int_{0}^{a}(ax^4 + \frac{2}{3}a^3x^2 + \frac{1}{5}a^5)dx = a\times\frac{1}{5}x^5\big|_{0}^{a} + \frac{2}{3}a^3\times\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{a} + \frac{1}{5}a^5x\big|_{0}^{a}$
$= \frac{1}{5}a^6 + \frac{2}{9}a^6 + \frac{1}{5}a^6 = \frac{9 + 10 + 9}{45}a^6 = \frac{28}{45}a^6$
则$\iiint_{\Omega} (x^2 + y^2) dV = 4\times\frac{28}{45}a^6 = \frac{112}{45}a^6$。
所以$I_z = \rho\iiint_{\Omega} (x^2 + y^2) dV = \frac{112}{45}\rho a^6$。