题目

3 单选(4分)-|||-已知矩阵 A= a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 则对应矩阵的秩R (A),正确的是-|||-○ A. 当 a=1 时, R(A)=0-|||-B. 当 =-3 时, R(A)=4-|||-○ C. 当 a=-3 时, R(A)=1-|||-D. 当 neq -3 且 neq 1 时, (A)=4.

题目解答

答案

解析

本题考查矩阵秩的计算，解题思路是先对矩阵进行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，再根据不同的参数值来确定矩阵的秩。

  1. 对矩阵$A = \begin{bmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{bmatrix}$进行初等行变换：
    • 将第$2$、$3$、$4$行都加到第$1$行，得到$\begin{bmatrix} a + 3 & a + 3 & a + 3 & a + 3 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{bmatrix}$。
    • 提取第$1$行的公因子$a + 3$，得到$(a + 3)\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{bmatrix}$。
    • 用第$2$、$3$、$4$行分别减去第$1$行，得到$(a + 3)\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a - 1 \end{bmatrix}$。
  2. 计算矩阵的行列式：
    • 此时矩阵为上三角矩阵，其行列式的值等于主对角线元素之积，即$\vert A\vert=(a + 3)(a - 1)^3$。
  3. 根据行列式的值讨论矩阵的秩：
    • 当$a = 1$时，矩阵$A$变为$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$，通过初等行变换可化为$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，非零行的行数为$1$，所以$R(A)=1$，故选项A错误。
    • 当$a = -3$时，矩阵$A$经过初等行变换后为$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -4 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -4 \end{bmatrix}$，非零行的行数为$3$，所以$R(A)=3$，故选项C错误。
    • 当$a\neq -3$且$a\neq 1$时，$\vert A\vert=(a + 3)(a - 1)^3\neq 0$，根据矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零，可知矩阵$A$可逆，可逆矩阵的秩等于其阶数，所以$R(A)=4$，故选项D正确。
    • 选项B中$a = -31$时，$R(A)=4$，但这只是$a\neq -3$且$a\neq 1$时的一个特殊情况，选项D的表述更全面。