题目
（多选题）的所有根为（ ）
（多选题）
的所有根为（ ）
题目解答
答案
解：1+i表示成指数形式为
令k=0，
A选项正确
令k=1，
B选项正确，并排除D选项
令k=2,
C选项正确，故答案为A,B,C
解析
步骤 1：将复数1+2表示成极坐标形式
复数1+2可以表示为$2{e}^{i\dfrac {\pi }{4}}$，其中模为$\sqrt {1^2+2^2}=\sqrt {5}$，幅角为$\arctan(\dfrac {2}{1})=\dfrac {\pi }{4}$。
步骤 2：计算立方根
立方根的模为$\sqrt [3]{\sqrt {5}}=\sqrt [6]{5}$，幅角为$\dfrac {\pi }{4}+\dfrac {2k\pi }{3}$，其中$k=0,1,2$。
步骤 3：计算每个根
当$k=0$时，根为$\sqrt [6]{5}{e}^{i\dfrac {\pi }{12}}$。
当$k=1$时，根为$\sqrt [6]{5}{e}^{i\dfrac {3\pi }{4}}$。
当$k=2$时，根为$\sqrt [6]{5}{e}^{i\dfrac {17\pi }{12}}$。
复数1+2可以表示为$2{e}^{i\dfrac {\pi }{4}}$，其中模为$\sqrt {1^2+2^2}=\sqrt {5}$，幅角为$\arctan(\dfrac {2}{1})=\dfrac {\pi }{4}$。
步骤 2：计算立方根
立方根的模为$\sqrt [3]{\sqrt {5}}=\sqrt [6]{5}$，幅角为$\dfrac {\pi }{4}+\dfrac {2k\pi }{3}$，其中$k=0,1,2$。
步骤 3：计算每个根
当$k=0$时，根为$\sqrt [6]{5}{e}^{i\dfrac {\pi }{12}}$。
当$k=1$时，根为$\sqrt [6]{5}{e}^{i\dfrac {3\pi }{4}}$。
当$k=2$时，根为$\sqrt [6]{5}{e}^{i\dfrac {17\pi }{12}}$。