题目

方程 {(x^2)/(16)+(y^2)/(16)+(z^2)/(4)=1 x-2=0. 所表示的曲线图形是(） A. 椭圆B. 圆周C. 抛物线D. 双曲线

方程 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1 \\ x-2=0\end{array}\right.$ 所表示的曲线图形是(）

  • A. 椭圆
  • B. 圆周
  • C. 抛物线
  • D. 双曲线

题目解答

答案

为了确定方程组$\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1\\x-2=0\end{matrix}\right.$所表示的曲线图形，我们需要将$x = 2$代入第一个方程，然后分析得到的方程。 1. 从第一个方程开始： \[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{4} = 1 \] 2. 将$x = 2$代入方程： \[ \frac{2^2}{16} + \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{4} = 1 \] 3. 简化$\frac{2^2}{16}$： \[ \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \] 4. 将$\frac{1}{4}$代回方程： \[ \frac{1}{4} + \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{4} = 1 \] 5. 从两边减去$\frac{1}{4}$： \[ \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{4} = 1 - \frac{1}{4} \] 6. 简化右边： \[ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] 7. 因此，方程变为： \[ \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{4} = \frac{3}{4} \] 8. 为了使方程看起来像标准椭圆形式，将每一项乘以$\frac{4}{3}$： \[ \frac{4}{3} \left( \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{4} \right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \] 9. 简化： \[ \frac{y^2}{12} + \frac{z^2}{3} = 1 \] 方程$\frac{y^2}{12} + \frac{z^2}{3} = 1$是$yz$-平面上椭圆的标准形式。由于$x$固定为2，曲线图形是一个椭圆。 因此，正确答案是$\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查空间二次曲面与平面的交线形状判断，需要结合代入消元法和二次曲线的标准方程形式进行分析。

解题核心思路：

  1. 代入消元：将第二个方程$x=2$代入第一个方程，消去变量$x$，得到关于$y$和$z$的方程。
  2. 标准化方程：将化简后的方程整理为标准二次曲线形式，判断其几何形状。
  3. 选项匹配：根据标准方程的形式（椭圆、圆、抛物线、双曲线）选择正确答案。

破题关键点：

  • 代入$x=2$后，方程的化简过程是核心步骤，需注意分母的处理。
  • 识别椭圆的标准方程形式，明确分母不等时为椭圆，相等时为圆。

将方程组$\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1\\x-2=0\end{matrix}\right.$代入消元：

  1. 代入$x=2$：
    将$x=2$代入第一个方程：
    $\frac{2^2}{16} + \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{4} = 1$

  2. 化简方程：
    计算$\frac{2^2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$，方程变为：
    $\frac{1}{4} + \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{4} = 1$
    移项得：
    $\frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{4} = \frac{3}{4}$

  3. 标准化方程：
    两边同乘$\frac{4}{3}$，整理为：
    $\frac{y^2}{12} + \frac{z^2}{3} = 1$
    此方程为椭圆的标准方程，其中$y$轴半长轴为$2\sqrt{3}$，$z$轴半短轴为$\sqrt{3}$。

结论：交线为椭圆，对应选项A。