(3)设D=((x,y)|x²+y²≤4),计算I=iintlimits_(D)|2x-x^2-y^2|dx dy.

本题主要考察二重积分的计算，涉及对称性简化、积分区域划分及极坐标变换等知识，具体思路如下：

步骤1：分析被积函数与积分区域**

积分区域$D$是圆心在原点、半径为2的圆：$x^2+y^2\leq4$。被积函数为$|2x - x^2 - y^2|$，需先确定绝对值内的表达式符号，以去掉绝对值。

步骤2：简化绝对值内表达式

绝对值内的表达式可改写为：
$2x - x² - y² = 2x - (x² + y²) 记$r^2=x²+yy²$（极坐标下$x²+y²=r²$），则表达式变为$2x - r²$。 ## **步骤3：划分积分区域** 根据$2x - r²\geq0$还是$<0$，将\(划分为两部分： - **$D_1$**：满足$2x - r²\geq0$的区域，即$(x-1)^2 + y^2\leq1$（圆心在(1,0)、半径1的圆）； - **$D_2$**：$D$中除$D_1$外的部分，即$2x - r²<0$ ## **步骤4：拆分积分并利用对称性** 原积分拆分为： \[I=\iint_{D_1}(2x - x² - y²)dxdy + iint_{D_2}(x² + y² - 2x)dxdy$
利用奇函数对称性：$iint_{D}2xdxdy=0$（因$2x$是x的奇函数，积分区域关于y轴对称），化简得：
$I=2iint_{D_}(2x - x² - y²)dxdy + iint_{D}(x² + y²)dxdy$

步骤5：计算积分

1. $iint_{D}(x² + y²)dxdy$：
   极坐标下$x² + y²=r²$，面积元素$rdrd\theta$，积分范围$0\leq r\leq2,0\leq\theta<2\pi$：
   $iint_{D}r²\cdot rdrd\theta=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2r^3dr=2\pi\cdot\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2=2\pi\cdot4=8\pi$

2. $iint_{D_1}(2x - x² - y²)dxdy$：
   $D_1$是圆心(1,0)、半径1的圆，极坐标$令\(x'=x-1$，则$x=x'+1$，$x² + y²=(x'+1)^2 + y²=r'^2 + 2x'+1$，被积函数：
   $2x - (x² + y²)=2(x'+1)-(r'^2 + 2x'+1)=1 - r'^2$
   积分：$iint_{D_1}(1 - r'^2)r'dr'd\theta=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1(1 - r'^2)r'dr'$
   计算：$2\pi\cdot\left[\frac{r'^2}{2}-\frac{r'^4}{4}\right]_0^1=2\pi\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}$

步骤6：最终结果

代入得：
$I=2\times\frac{\pi}{2}+8\pi=\pi + 8\pi=9\pi$