题目

14. (5.0分) lim_(x to 0 atop y to 0)(x^2+3y^2)sin(1)/(2x^2)+5y^(2)=( ). A 不存在 B ∞ C 1 D 0

14. (5.0分) $\lim_{x \to 0 \atop y \to 0}(x^{2}+3y^{2})\sin\frac{1}{2x^{2}+5y^{2}}=( )$. A 不存在 B ∞ C 1 D 0

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{x \to 0 \atop y \to 0}(x^{2}+3y^{2})\sin\frac{1}{2x^{2}+5y^{2}}$，我们可以使用极坐标变换。极坐标变换可以将双变量极限问题转化为单变量极限问题，从而简化计算。 首先，我们设 $x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$。当 $x \to 0$ 和 $y \to 0$ 时，$r \to 0$。将 $x$ 和 $y$ 用 $r$ 和 $\theta$ 表示，原极限变为： \[ \lim_{r \to 0} \left( (r \cos \theta)^2 + 3(r \sin \theta)^2 \right) \sin \frac{1}{2(r \cos \theta)^2 + 5(r \sin \theta)^2} \] 简化括号内的表达式，我们得到： \[ (r \cos \theta)^2 = r^2 \cos^2 \theta \quad \text{和} \quad 3(r \sin \theta)^2 = 3r^2 \sin^2 \theta \] \[ 2(r \cos \theta)^2 = 2r^2 \cos^2 \theta \quad \text{和} \quad 5(r \sin \theta)^2 = 5r^2 \sin^2 \theta \] 代入极限表达式，我们有： \[ \lim_{r \to 0} \left( r^2 \cos^2 \theta + 3r^2 \sin^2 \theta \right) \sin \frac{1}{2r^2 \cos^2 \theta + 5r^2 \sin^2 \theta} \] 提取 $r^2$，得到： \[ \lim_{r \to 0} r^2 \left( \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta \right) \sin \frac{1}{r^2 \left( 2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta \right)} \] 令 $u = \frac{1}{r^2 \left( 2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta \right)}$。当 $r \to 0$ 时， $u \to \infty$。因此，极限变为： \[ \lim_{u \to \infty} \frac{\cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta}{2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta} \cdot \frac{\sin u}{u} \] 我们知道，$\sin u$ 是有界函数，即 $-1 \leq \sin u \leq 1$。因此，$\frac{\sin u}{u} \to 0$ 当 $u \to \infty$。所以，整个极限为： \[ \frac{\cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta}{2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta} \cdot 0 = 0 \] 由于极限值与 $\theta$ 无关，原极限存在且为 0。因此，答案是： \[ \boxed{D} \]

解析

本题考查二元函数极限的计算，解题思路是通过极坐标变换将二元函数极限转化为单变量极限，再利用有界函数与无穷小的乘积为无穷小这一性质来求解。

  1. 进行极坐标变换：
    • 设$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，当$x\to0$且$y\to0$时，$r\to0$。
    • 原极限$\lim_{x \to 0 \atop y \to 0}(x^{2}+3y^{2})\sin\frac{1}{2x^{2}+5y^{2}}$变为$\lim_{r \to 0} \left( (r \cos \theta)^2 + 3(r \sin \theta)^2 \right) \sin \frac{1}{2(r \cos \theta)^2 + 5(r \sin \theta)^2}$。
  2. 化简表达式：
    • 对$(r \cos \theta)^2 + 3(r \sin \theta)^2$化简，根据幂的运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得$(r \cos \theta)^2 = r^2 \cos^2 \theta$，$3(r \sin \theta)^2 = 3r^2 \sin^2 \theta$，则$(r \cos \theta)^2 + 3(r \sin \theta)^2=r^2 \cos^2 \theta + 3r^2 \sin^2 \theta=r^2(\cos^2 \theta + 3\sin^2 \theta)$。
    • 对$2(r \cos \theta)^2 + 5(r \sin \theta)^2$化简，同理可得$2(r \cos \theta)^2 = 2r^2 \cos^2 \theta$，$5(r \sin \theta)^2 = 5r^2 \sin^2 \theta$，则$2(r \cos \theta)^2 + 5(r \sin \theta)^2=2r^2 \cos^2 \theta + 5r^2 \sin^2 \theta=r^2(2\cos^2 \theta + 5\sin^2 \theta)$。
    • 此时极限变为$\lim_{r \to 0} r^2 \left( \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta \right) \sin \frac{1}{r^2 \left( 2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta \right)}$。
  3. 换元：
    • 令$u = \frac{1}{r^2 \left( 2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta \right)}$，当$r \to 0$时，$u \to \infty$。
    • 则极限变为$\lim_{u \to \infty} \frac{\cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta}{2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta} \cdot \frac{\sin u}{u}$。
  4. 利用有界函数与无穷小的性质：
    • 因为$\sin u$是有界函数，即$-1 \leq \sin u \leq 1$，根据极限性质，当$u \to \infty$时，$\frac{\sin u}{u} \to 0$。
    • 所以$\lim_{u \to \infty} \frac{\cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta}{2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta} \cdot \frac{\sin u}{u}=\frac{\cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta}{2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta} \cdot 0 = 0$。
    • 由于极限值与$\theta$无关，所以原极限存在且为$0$。