题目

46 (1998，四题，5分)确定常数a,b,c的值，使lim_(xto0)(ax-sin x)/(int_(b)^x(ln(1+t^3))/(t)dt)=c(cneq0).

46 (1998，四题，5分)确定常数a,b,c的值，使$\lim_{x\to0}\frac{ax-\sin x}{\int_{b}^{x}\frac{\ln(1+t^{3})}{t}dt}=c(c\neq0).$

题目解答

答案

将分子 $ax - \sin x$ 展开为泰勒级数，得 \[ ax - \sin x \approx (a-1)x + \frac{x^3}{6} + O(x^5). \] 为使分子与分母等价无穷小，需 $a = 1$，此时 \[ x - \sin x \approx \frac{x^3}{6}. \] 分母积分近似为 \[ \int_{b}^{x} \frac{\ln(1+t^3)}{t} \, dt \approx \frac{x^3}{3} - \frac{b^3}{3}, \] 令 $b = 0$ 使分母为 $\frac{x^3}{3}$。计算极限 \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{\frac{x^3}{3}} = \frac{1}{2}, \] 得 $c = \frac{1}{2}$。 **答案：** \[ \boxed{a = 1, b = 0, c = \frac{1}{2}} \]

解析

考查要点：本题主要考查泰勒展开在极限中的应用，以及积分与无穷小量阶的比较。关键在于通过展开分子和分母的表达式，确定它们的同阶性，从而求解参数。

解题思路：

分子分析：将分子$ax - \sin x$展开为泰勒级数，消去低阶项，确定$a$的值。
分母分析：将积分$\int_{b}^{x} \frac{\ln(1+t^3)}{t} dt$展开为泰勒级数，确定$b$的值，使得分母与分子同阶。
极限计算：比较分子和分母的最高阶项系数，求出$c$的值。

破题关键：通过泰勒展开将分子和分母转化为同阶无穷小，确保极限存在且为非零常数。

分子部分展开

将$\sin x$展开为泰勒级数：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).$
代入分子：
$ax - \sin x = ax - \left( x - \frac{x^3}{6} \right) + O(x^5) = (a-1)x + \frac{x^3}{6} + O(x^5).$
消去一次项：令$a-1=0$，得$a=1$，此时分子为：
$x^3/6 + O(x^5).$

分母部分展开

对$\ln(1+t^3)$展开：
$\ln(1+t^3) = t^3 - \frac{t^6}{2} + O(t^9).$
代入积分表达式：
$\frac{\ln(1+t^3)}{t} = t^2 - \frac{t^5}{2} + O(t^8).$
积分从$b$到$x$：
$\int_{b}^{x} \left( t^2 - \frac{t^5}{2} \right) dt = \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^6}{12} \right]_{b}^{x} = \frac{x^3 - b^3}{3} + O(x^6).$
消去常数项：令$b=0$，分母简化为：
$\frac{x^3}{3} + O(x^6).$

极限计算

分子与分母的最高阶项分别为$x^3/6$和$x^3/3$，比值为：
$\frac{x^3/6}{x^3/3} = \frac{1}{2}.$
因此$c = \frac{1}{2}$。