oint_(Gamma) zydx + 2xzdy + x^2dz 其中Gamma为有向闭折线ABCA，这里A、B、C依次为点(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 2)。 A. -(1)/(3)B. -(2)/(3)C. -1D. -(4)/(3)

步骤 1：参数化曲线段
将闭曲线 $\Gamma$ 分为三段：$AB$、$BC$、$CA$。
- **段 $AB$：** $(1-t, t, 0)$，$0 \le t \le 1$，积分值为 $0$。
- **段 $BC$：** $(0, 1-t, 2t)$，$0 \le t \le 1$，积分值为 $0$。
- **段 $CA$：** $(t, 0, 2-2t)$，$0 \le t \le 1$，积分值为 $-\frac{2}{3}$。

步骤 2：计算每段曲线的积分
- **段 $AB$：**
曲线参数化为 $(x(t), y(t), z(t)) = (1-t, t, 0)$，$0 \le t \le 1$。
代入积分表达式，得 $z(t)y(t)dx + 2x(t)z(t)dy + x(t)^2dz = 0$，因为 $z(t) = 0$。
所以，积分值为 $0$。
- **段 $BC$：**
曲线参数化为 $(x(t), y(t), z(t)) = (0, 1-t, 2t)$，$0 \le t \le 1$。
代入积分表达式，得 $z(t)y(t)dx + 2x(t)z(t)dy + x(t)^2dz = 0$，因为 $x(t) = 0$。
所以，积分值为 $0$。
- **段 $CA$：**
曲线参数化为 $(x(t), y(t), z(t)) = (t, 0, 2-2t)$，$0 \le t \le 1$。
代入积分表达式，得 $z(t)y(t)dx + 2x(t)z(t)dy + x(t)^2dz = 2x(t)z(t)dy + x(t)^2dz$。
代入参数化表达式，得 $2t(2-2t)(-dt) + t^2(-2dt) = -4t^2dt - 2t^2dt = -6t^2dt$。
积分值为 $\int_{0}^{1} -6t^2dt = -6\int_{0}^{1} t^2dt = -6\left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} = -6\left(\frac{1}{3} - 0\right) = -2$。
所以，积分值为 $-\frac{2}{3}$。

步骤 3：计算总积分值
总积分值为 $0 + 0 - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$。
或使用斯托克斯公式，计算向量场 $\mathbf{F} = (zy, 2xz, x^2)$ 的旋度与平面 $ABC$ 的曲面积分，结果仍为 $-\frac{2}{3}$。