1.（单选题，5.0分）曲线C为正向圆周|z-i|=1，oint_(C)(e^2iz)/(z^2)+1dz=A. -2pi e^2B. pi e^-2C. 2pi e^-2D. -pi e^2

本题考查利用留数定理计算复变函数的曲线积分。解题思路如下：

1. 首先，确定被积函数的奇点。对于被积函数$f(z)=\frac{e^{2iz}}{z^{2}+1}$，令分母$z^{2}+1 = 0$，即$(z + i)(z - i)=0$，解得$z = i$和$z=-i$，这两个点就是被积函数的奇点。
2. 然后，判断奇点是否在积分曲线$C:|z - i| = 1$内。积分曲线$C$是以$i$为圆心，半径$r = 1$的正向圆周。对于$z = i$，$\vert i - i\vert=0\lt1$，所以$z = i$在曲线$C$内；对于$z=-i$，$\vert -i - i\vert=\vert -2i\vert = 2\gt1$，所以$z=-i$在曲线$C$外。
3. 接着，根据留数定理$\oint_{C}f(z)dz = 2\pi i\sum_{k = 1}^{n}\text{Res}[f(z),z_{k}]$（其中$z_{k}$是$f(z)$在曲线$C$内的奇点），我们只需要计算$f(z)$在$z = i$处的留数。
4. 由于$z = i$是$f(z)=\frac{e^{2iz}}{z^{2}+1}$的一阶极点，根据一阶极点留数公式$\text{Res}[f(z),z_{0}]=\lim_{z\rightarrow z_{0}}(z - z_{0})f(z)$，这里$z_{0}=i$，则$\text{Res}[f(z),i]=\lim_{z\rightarrow i}(z - i)\frac{e^{2iz}}{z^{2}+1}$。
   • 对$z^{2}+1$进行因式分解得$z^{2}+1=(z + i)(z - i)$，那么$\text{Res}[f(z),i]=\lim_{z\rightarrow i}\frac{e^{2iz}}{z + i}$。
   • 将$z = i$代入上式，可得$\text{Res}[f(z),i]=\frac{e^{2i\times i}}{i + i}=\frac{e^{-2}}{2i}$。
5. 最后，根据留数定理计算曲线积分$\oint_{C}\frac{e^{2iz}}{z^{2}+1}dz = 2\pi i\times\text{Res}[f(z),i]$。
   • 把$\text{Res}[f(z),i]=\frac{e^{-2}}{2i}$代入得：$\oint_{C}\frac{e^{2iz}}{z^{2}+1}dz=2\pi i\times\frac{e^{-2}}{2i}=\pi e^{-2}$。