题目
lim _(xarrow +infty )(sqrt ({x)^2+2x}-x);
;
题目解答
答案
解：
=1
故=1
解析
步骤 1：有理化分子
为了计算这个极限，我们首先需要有理化分子。我们可以通过乘以分子和分母的共轭来实现这一点。分子的共轭是 $\sqrt{x^2 + 2x} + x$。因此，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }(\sqrt {{x}^{2}+2x}-x) = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {(\sqrt {{x}^{2}+2x}-x)(\sqrt {{x}^{2}+2x}+x)}{(\sqrt {{x}^{2}+2x}+x)}$$
步骤 2：简化表达式
分子中的乘积可以简化为：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {(\sqrt {{x}^{2}+2x})^2 - x^2}{(\sqrt {{x}^{2}+2x}+x)} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {x^2 + 2x - x^2}{(\sqrt {{x}^{2}+2x}+x)}$$
步骤 3：计算极限
现在，我们简化分子并计算极限：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {2x}{(\sqrt {{x}^{2}+2x}+x)}$$
为了进一步简化，我们可以将分子和分母都除以 $x$：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {2}{(\sqrt {1+\frac{2}{x}}+1)}$$
当 $x$ 趋向于正无穷时，$\frac{2}{x}$ 趋向于 0，因此：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {2}{(\sqrt {1+0}+1)} = \dfrac {2}{2} = 1$$
为了计算这个极限，我们首先需要有理化分子。我们可以通过乘以分子和分母的共轭来实现这一点。分子的共轭是 $\sqrt{x^2 + 2x} + x$。因此，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }(\sqrt {{x}^{2}+2x}-x) = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {(\sqrt {{x}^{2}+2x}-x)(\sqrt {{x}^{2}+2x}+x)}{(\sqrt {{x}^{2}+2x}+x)}$$
步骤 2：简化表达式
分子中的乘积可以简化为：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {(\sqrt {{x}^{2}+2x})^2 - x^2}{(\sqrt {{x}^{2}+2x}+x)} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {x^2 + 2x - x^2}{(\sqrt {{x}^{2}+2x}+x)}$$
步骤 3：计算极限
现在，我们简化分子并计算极限：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {2x}{(\sqrt {{x}^{2}+2x}+x)}$$
为了进一步简化，我们可以将分子和分母都除以 $x$：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {2}{(\sqrt {1+\frac{2}{x}}+1)}$$
当 $x$ 趋向于正无穷时，$\frac{2}{x}$ 趋向于 0，因此：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {2}{(\sqrt {1+0}+1)} = \dfrac {2}{2} = 1$$