xzdxdydz,其中xzdxdydz是曲面xzdxdydz,xzdxdydz,xzdxdydz,以及抛物柱面xzdxdydz所围成的闭区域

考查要点：本题主要考查三重积分的计算，涉及空间区域的确定、积分次序的选择以及奇偶函数的积分性质应用。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：通过分析曲面方程，明确积分区域在$x$-$y$-$z$空间中的范围。
2. 选择积分次序：根据区域形状，选择合理的积分次序（本题选择先$z$后$y$再$x$）。
3. 分步积分：对每个变量逐层积分，注意利用奇偶函数的性质简化计算。

破题关键点：

• 积分区域投影：将三维区域投影到$x$-$y$平面，确定$x$和$y$的范围。
• 奇函数性质：被积函数$xz$在对称区间$[-1,1]$上积分时，可快速判断结果为零。

步骤1：确定积分区域

1. $z$的范围：由$z=0$到$z=y$，即$0 \leq z \leq y$。
2. $y$的范围：由抛物柱面$y=x^2$到平面$y=1$，即$x^2 \leq y \leq 1$。
3. $x$的范围：由$y=x^2 \leq 1$得$x \in [-1,1]$。

步骤2：建立三重积分表达式

$\iiint xz \, dx \, dy \, dz = \int_{-1}^{1} \int_{x^2}^{1} \int_{0}^{y} xz \, dz \, dy \, dx$

步骤3：逐层积分

1. 对$z$积分：
   $\int_{0}^{y} xz \, dz = x \cdot \frac{z^2}{2} \Big|_{0}^{y} = \frac{xy^2}{2}$

2. 对$y$积分：
   $\int_{x^2}^{1} \frac{xy^2}{2} \, dy = \frac{x}{2} \cdot \frac{y^3}{3} \Big|_{x^2}^{1} = \frac{x}{6} \left(1 - x^6\right)$

3. 对$x$积分：
   $\int_{-1}^{1} \frac{x(1 - x^6)}{6} \, dx = \frac{1}{6} \left( \int_{-1}^{1} x \, dx - \int_{-1}^{1} x^7 \, dx \right)$

步骤4：利用奇偶性简化

• $x$是奇函数，在对称区间$[-1,1]$积分结果为$0$。
• $x^7$也是奇函数，积分结果同样为$0$。
• 最终结果为：
  $\frac{1}{6} (0 - 0) = 0$