解方程 '=cos (x+y).

考查要点：本题主要考查一阶微分方程的变量代换解法，特别是通过恰当的变量替换将方程转化为可分离变量的形式，进而求解。

解题核心思路：

1. 变量代换：令$u = x + y$，将原方程中的复杂组合$x + y$简化为单一变量$u$。
2. 方程变形：利用导数的链式法则，将原方程转化为关于$u$的微分方程。
3. 三角恒等式：将$\cos u + 1$转化为$2\cos^2\frac{u}{2}$，简化积分过程。
4. 分离变量积分：通过分离变量法求解微分方程，并回代变量得到通解。

破题关键点：

• 选择正确的代换变量$u = x + y$，简化方程结构。
• 灵活应用三角恒等式简化被积表达式。
• 正确处理积分常数，确保通解的完整性。

步骤1：变量代换
令$u = x + y$，则$u' = 1 + y'$（根据导数的加法法则）。
原方程$y' = \cos(x + y)$可改写为：
$u' - 1 = \cos u \quad \Rightarrow \quad u' = \cos u + 1.$

步骤2：三角恒等式变形
利用恒等式$\cos u + 1 = 2\cos^2\frac{u}{2}$，方程变为：
$u' = 2\cos^2\frac{u}{2}.$

步骤3：分离变量
将方程改写为：
$\frac{du}{2\cos^2\frac{u}{2}} = dx.$

步骤4：积分求解
对两边积分：
$\int \frac{1}{2\cos^2\frac{u}{2}} du = \int dx.$
令$t = \frac{u}{2}$，则$du = 2dt$，左边积分变为：
$\int \frac{1}{2\cos^2 t} \cdot 2 dt = \int \sec^2 t \, dt = \tan t + C = \tan\frac{u}{2} + C.$
右边积分结果为$x + C$。
因此得到：
$\tan\frac{u}{2} = x + C.$

步骤5：回代变量
将$u = x + y$代入，得通解：
$\tan\frac{x + y}{2} = x + C.$