求指导本题解题过程，谢谢您！3-|||-6-|||-8.计算J 2xydσ,其中积分区域D是 由y轴, x+y=3 , y=2x 所围成的闭区域.-|||-3.3

本题考查二重积分的计算，解题思路是先根据积分区域的边界方程确定积分限，然后将二重积分化为累次积分进行计算。

步骤一：确定积分区域 $D$ 的范围

已知积分区域 $D$ 是由 $y$ 轴（即 $x = 0$），$x + y = 3$（可变形为 $y = 3 - x$），$y = 2x$ 所围成的闭区域。
为了确定 $x$ 和 $y$ 的积分限，我们需要求出这几条直线的交点。
联立$\begin{cases}y = 2x\\x + y = 3\end{cases}$，将 $y = 2x$ 代入 $x + y = 3$ 中，得到 $x + 2x = 3$，即 $3x = 3$，解得 $x = 1$，那么 $y = 2x = 2$，所以交点坐标为$(1, 2)$。
联立$\begin{cases}x = 0\\x + y = 3\end{cases}$，可得交点坐标为$(0, 3)$。
联立$\begin{cases}x = 0\\y = 2x\end{cases}$，可得交点坐标为$(0, 0)$。
因此，积分区域 $D$ 中 $x$ 的取值范围是从 $0$ 到 $1$，对于每个固定的 $x$，$y$ 的取值范围是从 $y = 2x$ 到 $y = 3 - x$。

步骤二：将二重积分化为累次积分

根据上述积分区域的范围，$\iint_{D} 2xy d\sigma$ 可以化为先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分的累次积分，即$\int_{0}^{1}dx\int_{2x}^{3 - x} 2xy dy$。

步骤三：计算内层积分

先计算$\int_{2x}^{3 - x} 2xy dy$，根据积分公式$\int y^n dy = \frac{1}{n + 1}y^{n + 1} + C$（$n\neq -1$），这里 $x$ 看作常数，则有：
$\int_{2x}^{3 - x} 2xy dy = 2x\int_{2x}^{3 - x} y dy = 2x\cdot[\frac{1}{2}y^2]_{2x}^{3 - x}$
$= x[(3 - x)^2 - (2x)^2]$
根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，将$(3 - x)^2$展开得$9 - 6x + x^2$，则：
$x[(3 - x)^2 - (2x)^2] = x(9 - 6x + x^2 - 4x^2) = x(9 - 6x - 3x^2) = 9x - 6x^2 - 3x^3$

步骤四：计算外层积分

再计算$\int_{0}^{1} (9x - 6x^2 - 3x^3) dx$，根据积分公式$\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$（$n\neq -1$），可得：
$\int_{0}^{1} (9x - 6x^2 - 3x^3) dx = [\frac{9}{2}x^2 - 2x^3 - \frac{3}{4}x^4]_0^1$
$= (\frac{9}{2}\times 1^2 - 2\times 1^3 - \frac{3}{4}\times 1^4) - (\frac{9}{2}\times 0^2 - 2\times 0^3 - \frac{3}{4}\times 0^4)$
$= \frac{9}{2} - 2 - \frac{3}{4}$
通分可得：$\frac{18}{4} - \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$