题目
9.设L为连接点(2,0)到点(0,1)的直线段，则int_(L)(x+2y)ds=____.
9.设L为连接点(2,0)到点(0,1)的直线段，则$\int_{L}(x+2y)ds=$____.
题目解答
答案
直线段方程为 $y = -\frac{1}{2}x + 1$，即 $x + 2y = 2$。
参数化：令 $x = 2 - 2t$，$y = t$，$0 \leq t \leq 1$。
计算 $ds = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} \, dt = \sqrt{5} \, dt$。
积分化简：
\[
\int_{L}(x+2y)ds = \int_{0}^{1} 2 \cdot \sqrt{5} \, dt = 2\sqrt{5} \int_{0}^{1} dt = 2\sqrt{5}
\]
或者利用 $x + 2y = 2$，直线段长度为 $\sqrt{5}$，得：
\[
\int_{L}(x+2y)ds = 2 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}
\]
**答案：** $\boxed{2\sqrt{5}}$
解析
步骤 1：确定直线段方程
连接点(2,0)到点(0,1)的直线段方程为 $y = -\frac{1}{2}x + 1$。因此，$x + 2y = 2$。
步骤 2：参数化直线段
令 $x = 2 - 2t$，$y = t$，其中 $0 \leq t \leq 1$。这样，我们可以通过参数 $t$ 来表示直线段上的点。
步骤 3：计算 $ds$
$ds$ 是直线段上微小弧长的表示，可以由参数 $t$ 的变化来计算。根据参数化，$ds = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} \, dt = \sqrt{5} \, dt$。
步骤 4：积分计算
将 $x + 2y = 2$ 和 $ds = \sqrt{5} \, dt$ 代入积分中，得到 \[ \int_{L}(x+2y)ds = \int_{0}^{1} 2 \cdot \sqrt{5} \, dt = 2\sqrt{5} \int_{0}^{1} dt = 2\sqrt{5} \] 或者利用 $x + 2y = 2$，直线段长度为 $\sqrt{5}$，得： \[ \int_{L}(x+2y)ds = 2 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \]
连接点(2,0)到点(0,1)的直线段方程为 $y = -\frac{1}{2}x + 1$。因此，$x + 2y = 2$。
步骤 2：参数化直线段
令 $x = 2 - 2t$，$y = t$，其中 $0 \leq t \leq 1$。这样，我们可以通过参数 $t$ 来表示直线段上的点。
步骤 3：计算 $ds$
$ds$ 是直线段上微小弧长的表示，可以由参数 $t$ 的变化来计算。根据参数化，$ds = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} \, dt = \sqrt{5} \, dt$。
步骤 4：积分计算
将 $x + 2y = 2$ 和 $ds = \sqrt{5} \, dt$ 代入积分中，得到 \[ \int_{L}(x+2y)ds = \int_{0}^{1} 2 \cdot \sqrt{5} \, dt = 2\sqrt{5} \int_{0}^{1} dt = 2\sqrt{5} \] 或者利用 $x + 2y = 2$，直线段长度为 $\sqrt{5}$，得： \[ \int_{L}(x+2y)ds = 2 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \]