设 A 为 m times n 矩阵，R(A) = n - 1，且 alpha_1 和 alpha_2 是线性方程组 AX = B 的两个不同的解，且 k 为任意常数，则线性方程组的通解是A. kalpha_1 + alpha_2B. kalpha_2 + alpha_1C. k(alpha_1 - alpha_2) + alpha_1D. k(alpha_1 + alpha_2) + alpha_1

本题考查非齐次线性方程组通解的结构。解题的关键在于明确非齐次线性方程组通解由对应的齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解构成。

步骤一：求齐次线性方程组 $AX = 0$ 的基础解系

已知矩阵 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，且 $R(A)=n - 1$。根据齐次线性方程组解的性质，齐次线性方程组 $AX = 0$ 的基础解系所含向量的个数为 $n - R(A)$，将 $R(A)=n - 1$ 代入可得：
$n - R(A)=n-(n - 1)=1$
即齐次线性方程组 $AX = 0$ 的基础解系只含一个非零解向量。

步骤二：找出齐次线性方程组 $AX = 0$ 的一个非零解

因为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 是线性方程组 $AX = B$ 的两个不同的解，所以有 $A\alpha_1 = B$ 且 $A\alpha_2 = B$。
那么 $A(\alpha_1-\alpha_2)=A\alpha_1 - A\alpha_2=B - B = 0$，这表明 $\alpha_1-\alpha_2$ 是齐次线性方程组 $AX = 0$ 的一个解。
又因为 $\alpha_1\neq\alpha_2$，所以 $\alpha_1-\alpha_2\neq0$，故 $\alpha_1-\alpha_2$ 可作为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的基础解系。

步骤三：确定非齐次线性方程组 $AX = B$ 的通解

根据非齐次线性方程组通解的结构，非齐次线性方程组 $AX = B$ 的通解等于对应的齐次线性方程组 $AX = 0$ 的通解加上非齐次线性方程组 $AX = B$ 的一个特解。
已知 $\alpha_1$ 是 $AX = B$ 的一个特解，$k(\alpha_1 - \alpha_2)$ 是 $AX = 0$ 的通解（$k$ 为任意常数），所以 $AX = B$ 的通解为 $k(\alpha_1 - \alpha_2) + \alpha_1$。