题目
15.设 lt (x)_(1)lt 3, _(n+1)=sqrt ({x)_(n)(3-(x)_(n))}(n=1,2,... ), 证明:数列(xn)的极限存在,并求此-|||-极限.
题目解答
答案
解析
本题考查数列极限的存在性证明及极限的求解，解题思路是先证明数列有界，再证明数列单调，根据单调有界数列必有极限得出数列极限存在，最后通过对递推公式两边取极限求出极限值。
- 证明数列$\{x_n\}$有界：
- 已知$0\lt x_1\lt 3$，对于$x_2$，根据均值不等式$ab\leqslant(\frac{a + b}{2})^2$（当且仅当$a = b$时等号成立），可得$x_2=\sqrt{x_1(3 - x_1)}\leqslant\frac{1}{2}(x_1 + 3 - x_1)=\frac{3}{2}$，同时$x_2=\sqrt{x_1(3 - x_1)}\gt0$，即$0\lt x_2\leqslant\frac{3}{2}$。
- 假设当$k\gt1$时，$0\lt x_k\leqslant\frac{3}{2}$成立。
- 对于$x_{k + 1}$，同样根据均值不等式，$x_{k + 1}=\sqrt{x_k(3 - x_k)}\leqslant\frac{1}{2}(x_k + 3 - x_k)=\frac{3}{2}$，且$x_{k + 1}=\sqrt{x_k(3 - x_k)}\gt0$，即$0\lt x_{k + 1}\leqslant\frac{3}{2}$。
- 由数学归纳法可知，对任意正整数$n\gt1$，均有$0\lt x_n\leqslant\frac{3}{2}$，所以数列$\{x_n\}$有界。
- 证明数列$\{x_n\}$单调：
- 当$n\gt1$时，计算$x_{n + 1}-x_n$：
$\begin{align*}x_{n + 1}-x_n&=\sqrt{x_n(3 - x_n)}-x_n\\&=\frac{(\sqrt{x_n(3 - x_n)}-x_n)(\sqrt{x_n(3 - x_n)} + x_n)}{\sqrt{x_n(3 - x_n)} + x_n}\\&=\frac{x_n(3 - x_n)-x_n^2}{\sqrt{x_n(3 - x_n)} + x_n}\\&=\frac{3x_n - 2x_n^2}{\sqrt{x_n(3 - x_n)} + x_n}\\&=\frac{\sqrt{x_n}\cdot\sqrt{3 - 2x_n}\cdot\sqrt{x_n}}{\sqrt{3 - x_n}+\sqrt{x_n}}\\&=\frac{\sqrt{x_n(3 - 2x_n)}}{\sqrt{3 - x_n}+\sqrt{x_n}}\geqslant0\end{align*}$ - 所以$x_{n + 1}\geqslant x_n(n\gt1)$，即数列$\{x_n\}$单调增加。
- 当$n\gt1$时，计算$x_{n + 1}-x_n$：
- 求数列$\{x_n\}$的极限：
- 因为数列$\{x_n\}$单调有界，根据单调有界数列必有极限，可知$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$存在，设$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n = a$。
- 对$x_{n + 1}=\sqrt{x_n(3 - x_n)}$两边同时取$n\rightarrow\infty$的极限，可得$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n + 1}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt{x_n(3 - x_n)}$，即$a = \sqrt{a(3 - a)}$。
- 两边同时平方得$a^2 = a(3 - a)$，展开得$a^2 = 3a - a^2$，移项化为$2a^2 - 3a = 0$，因式分解得$a(2a - 3) = 0$，解得$a = \frac{3}{2}$或$a = 0$。
- 又因为$x_n\gt0$且单调增加，所以$a\geqslant x_2\gt0$，故舍去$a = 0$，得到$a = \frac{3}{2}$，即$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n = \frac{3}{2}$。