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数学
题目

若|z-2-3i|=1,则复数z对应的点在复平面内的轨迹是() A. 点(2,3) B. 以点(2,3)为圆心、1为半径的圆 C. 以点(-2,-3)为圆心、1为半径的圆 D. 直线x=2与y=3的交点

若|z-2-3i|=1,则复数z对应的点在复平面内的轨迹是()
A. 点(2,3)
B. 以点(2,3)为圆心、1为半径的圆
C. 以点(-2,-3)为圆心、1为半径的圆
D. 直线x=2与y=3的交点

题目解答

答案

复数 $ z $ 对应的点在复平面内的轨迹由方程 $ |z - 2 - 3i| = 1 $ 确定。设 $ z = x + yi $,其中 $ x, y \in \mathbb{R} $,则方程变为: \[ | (x + yi) - (2 + 3i) | = 1 \] 即: \[ | (x - 2) + (y - 3)i | = 1 \] 根据复数模的定义,有: \[ \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} = 1 \] 两边平方得: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1 \] 这是以点 $ (2, 3) $ 为圆心、半径为 1 的圆的方程。因此,复数 $ z $ 对应的点在复平面内的轨迹是以点 $ (2, 3) $ 为圆心、1 为半径的圆。 答案:$\boxed{B}$

解析

考查要点:本题主要考查复数在复平面内的几何意义,特别是复数模长的几何表示。
解题核心思路:将复数方程转化为几何图形,理解模长的几何意义为距离。
破题关键点:

  1. 复数对应点的坐标:复数 $z = x + yi$ 对应点 $(x, y)$。
  2. 模长的几何意义:$|z - (a + bi)| = r$ 表示复数 $z$ 对应的点到点 $(a, b)$ 的距离为 $r$,轨迹是圆。
  3. 方程变形:通过代入 $z = x + yi$ 展开方程,验证几何图形。

设复数 $z = x + yi$($x, y \in \mathbb{R}$),代入方程 $|z - 2 - 3i| = 1$:
$| (x + yi) - (2 + 3i) | = 1$
整理得:
$| (x - 2) + (y - 3)i | = 1$
根据复数模长的定义:
$\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} = 1$
两边平方后得到:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1$
此方程表示以点 $(2, 3)$ 为圆心、半径为 $1$ 的圆。因此,复数 $z$ 对应的点的轨迹是选项 B。

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