给定向量组α1=(1，-2，3，-1，2)T，α2=(3，-1，5，-3，1)T，α3=(5，0，7，-5，-4)T，α4=(2，1，2，-2，-3)T，求： (1)此向量组的秩； (2)此向量组的一个极大无关组； (3)判定此向量组的线性相关性； (4)将向量组的其他向量用求出的极大无关组线性表示．

考查要点：本题主要考查向量组的秩、极大无关组、线性相关性及线性表示的求解方法，核心是通过矩阵的初等行变换进行分析。

解题思路：

1. 构造矩阵：将向量组作为列向量组成矩阵$A$。
2. 行简化阶梯形：对矩阵$A$进行初等行变换，化为行最简形矩阵$B$。
3. 确定秩：非零行的数量即为向量组的秩。
4. 极大无关组：主元所在列对应的原向量构成极大无关组。
5. 线性相关性：若秩小于向量个数，则向量组线性相关。
6. 线性表示：通过行简化矩阵中非主元列的系数，将对应向量用极大无关组表示。

关键点：正确进行矩阵的行变换，准确识别主元位置及非主元列的系数。

第（1）题：求向量组的秩

1. 构造矩阵：将$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$作为列向量组成矩阵$A$：
   $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ -2 & -1 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 7 & -4 \\ -1 & -3 & -5 & -2 \\ 2 & 1 & -4 & -3 \end{pmatrix}$

2. 行简化阶梯形：通过初等行变换，矩阵$A$化为：
   $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 确定秩：非零行有3行，因此秩$r(A) = 3$。

第（2）题：求极大无关组

1. 主元位置：行简化矩阵$B$中主元位于第1、2、3列。
2. 对应原向量：因此极大无关组为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。

第（3）题：判定线性相关性

1. 秩与向量个数：向量组有4个向量，秩为3，小于向量个数。
2. 结论：向量组线性相关。

第（4）题：用极大无关组表示其他向量

1. 非主元列分析：第4列对应方程：
   $\alpha_4 = -\frac{1}{2}\alpha_1 + 0 \cdot \alpha_2 + \frac{1}{2}\alpha_3$