设 y = f(x) 在 (a, b) 内连续，则 f(x) 在 (a, b) 内（ ）。A. 无界B. 有最大值与最小值C. 不一定有界D. 有界

本题考查函数在开区间内连续的性质，解题思路是通过分析函数在开区间和闭区间上连续性质的差异，结合具体例子来判断函数在开区间内的有界性。

1. 明确函数在闭区间上连续的性质

根据闭区间上连续函数的性质可知，若函数 $y = f(x)$ 在闭区间 $[m,n]\subseteq(a,b)$ 上连续，则函数 $f(x)$ 在 $[m,n]$ 上有界，即存在正数 $M$，使得对于任意的 $x\in[m,n]$，都有 $|f(x)|\leq M$。

2. 分析函数在开区间内的情况

对于开区间 $(a,b)$，函数 $y = f(x)$ 连续并不一定能保证其有界。下面通过两个例子来进行说明：

• 有界的例子：
  考虑函数 $f(x)=\sin x$，它在开区间 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，对于任意的 $x\in(-\infty,+\infty)$，都有 $|\sin x|\leq 1$，所以 $f(x)=\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界，自然在任意开区间 $(a,b)$ 内也有界。
• 无界的例子：
  考虑函数 $f(x)=\frac{1}{x}$，它在开区间 $(0,1)$ 内连续。
  假设 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 内有界，即存在正数 $M$，使得对于任意的 $x\in(0,1)$，都有 $|\frac{1}{x}|\leq M$。
  但是，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$，这意味着无论 $M$ 取多大，总存在足够接近 $0$ 的 $x_0\in(0,1)$，使得 $\frac{1}{x_0}\gt{}M$，所以 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 内无界。

3. 得出结论

由上述例子可知，函数 $y = f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续时，可能有界也可能无界，即不一定有界。