题目
用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:-|||-(4) sin dfrac (pi )(2)+sin dfrac (pi )(2)+sin dfrac (pi )(2)^3+... +sin dfrac (pi )({2)^n}+... ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定比较级数
我们选择比较级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{2}^{n}}$，这是一个几何级数，其公比为 $\dfrac{1}{2}$，且收敛。
步骤 2：应用极限形式的比较审敛法
我们计算极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}}{\dfrac {1}{{2}^{n}}}$。根据极限的性质，当 $n$ 趋于无穷大时，$\dfrac {\pi }{{2}^{n}}$ 趋于 $0$，因此 $\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$ 也趋于 $0$。利用 $\sin x \approx x$ 当 $x$ 接近 $0$ 的性质，我们有：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}}{\dfrac {1}{{2}^{n}}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\pi \cdot \dfrac {\sin \dfrac {\pi }{2}}{\dfrac {\pi }{{2}^{n}}} = \pi$$
步骤 3：判断原级数的收敛性
由于 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}}{\dfrac {1}{{2}^{n}}} = \pi$ 是一个有限的正数，且比较级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{2}^{n}}$ 收敛，根据极限形式的比较审敛法，原级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$ 也收敛。
我们选择比较级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{2}^{n}}$，这是一个几何级数，其公比为 $\dfrac{1}{2}$，且收敛。
步骤 2：应用极限形式的比较审敛法
我们计算极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}}{\dfrac {1}{{2}^{n}}}$。根据极限的性质，当 $n$ 趋于无穷大时，$\dfrac {\pi }{{2}^{n}}$ 趋于 $0$，因此 $\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$ 也趋于 $0$。利用 $\sin x \approx x$ 当 $x$ 接近 $0$ 的性质，我们有：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}}{\dfrac {1}{{2}^{n}}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\pi \cdot \dfrac {\sin \dfrac {\pi }{2}}{\dfrac {\pi }{{2}^{n}}} = \pi$$
步骤 3：判断原级数的收敛性
由于 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}}{\dfrac {1}{{2}^{n}}} = \pi$ 是一个有限的正数，且比较级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{2}^{n}}$ 收敛，根据极限形式的比较审敛法，原级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$ 也收敛。