题目
计算int dfrac (1)({(1-{x)^2)}^dfrac (3{2)}}dx；
计算
；
题目解答
答案
已知
，令
（
）,
则
，
原式
，
所以原式
。
解析
步骤 1：代换
令$x=\sin t$，则$dx=\cos tdt$。这里我们使用三角代换，因为$1-x^2$可以被看作是$\cos^2 t$的形式。
步骤 2：代入
将$x=\sin t$和$dx=\cos tdt$代入原积分，得到$\int \dfrac {1}{{(1-{\sin }^{2}t)}^{\dfrac {3}{2}}}\cdot \cos tdt$。
步骤 3：简化
由于$1-\sin^2 t = \cos^2 t$，所以原积分变为$\int \dfrac {1}{{\cos }^{3}t}\cdot \cos tdt = \int \dfrac {1}{{\cos }^{2}t}dt$。
步骤 4：积分
$\int \dfrac {1}{{\cos }^{2}t}dt = \int \sec^2 t dt = \tan t + C$。
步骤 5：回代
由于$x=\sin t$，所以$\tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t} = \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$。
令$x=\sin t$，则$dx=\cos tdt$。这里我们使用三角代换，因为$1-x^2$可以被看作是$\cos^2 t$的形式。
步骤 2：代入
将$x=\sin t$和$dx=\cos tdt$代入原积分，得到$\int \dfrac {1}{{(1-{\sin }^{2}t)}^{\dfrac {3}{2}}}\cdot \cos tdt$。
步骤 3：简化
由于$1-\sin^2 t = \cos^2 t$，所以原积分变为$\int \dfrac {1}{{\cos }^{3}t}\cdot \cos tdt = \int \dfrac {1}{{\cos }^{2}t}dt$。
步骤 4：积分
$\int \dfrac {1}{{\cos }^{2}t}dt = \int \sec^2 t dt = \tan t + C$。
步骤 5：回代
由于$x=\sin t$，所以$\tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t} = \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$。