单选题（共15题，30.0分） 题型说明：从备选答案中选出一个正确答案，错选、不选均不得分。 9. (2.0分) (arccscx)' = ( )A. -1/(mid x mid (x^2-1)^1/2)B. 1/(mid x mid (x^2-1)^1/2)C. (scx)'D. (cschx)'

考查要点：本题主要考查反余割函数（arccsc x）的导数公式及其推导过程，涉及反三角函数的求导方法和绝对值符号的应用。

解题核心思路：

1. 隐函数求导法：设 $y = \text{arccsc} x$，则 $\text{csc} y = x$，对两边同时关于 $x$ 求导。
2. 链式法则与导数公式：利用 $\frac{d}{dy} (\text{csc} y) = -\text{csc} y \cot y$，结合链式法则展开求导。
3. 符号处理：根据 $\text{arccsc} x$ 的值域，分析 $\cot y$ 的符号，最终通过绝对值符号统一表达式。

破题关键点：

• 余割函数的导数公式是基础，需注意负号的引入。
• 绝对值符号的必要性：由于 $\text{arccsc} x$ 的定义域包含正负值，需通过绝对值确保分母始终为正。

设 $y = \text{arccsc} x$，则 $\text{csc} y = x$。对两边关于 $x$ 求导：
$\frac{d}{dx} (\text{csc} y) = \frac{d}{dx} (x)$
应用链式法则：
左边导数为 $-\text{csc} y \cot y \cdot \frac{dy}{dx}$，右边导数为 $1$，因此：
$-\text{csc} y \cot y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
解方程求 $\frac{dy}{dx}$：
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\text{csc} y \cot y}$
代入 $\text{csc} y = x$ 和 $\cot y = \sqrt{\text{csc}^2 y - 1}$：
$\cot y = \sqrt{x^2 - 1}$
符号分析：

• 当 $x > 0$ 时，$y \in (0, \frac{\pi}{2})$，$\cot y > 0$；
• 当 $x < 0$ 时，$y \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$，$\cot y < 0$。
  因此，$\cot y = \text{sign}(x) \sqrt{x^2 - 1}$，但需通过绝对值统一表达式：
  $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}$