题目
椭圆 x = a cos theta, y = b sin theta 所围图形的面积为（） A. pi ab^2B. pi abC. pi a^2bD. 2pi ab
椭圆 $x = a \cos \theta$, $y = b \sin \theta$ 所围图形的面积为（）
- A. $\pi ab^2$
- B. $\pi ab$
- C. $\pi a^2b$
- D. $2\pi ab$
题目解答
答案
利用格林公式求椭圆面积，公式为 $A = \frac{1}{2} \oint_C x \, dy - y \, dx$。将椭圆参数方程 $x = a \cos \theta$，$y = b \sin \theta$（$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$）代入，得：
\[
dx = -a \sin \theta \, d\theta, \quad dy = b \cos \theta \, d\theta
\]
代入面积公式：
\[
A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left[ a \cos \theta \cdot b \cos \theta + b \sin \theta \cdot a \sin \theta \right] d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} ab \, d\theta = \pi ab
\]
因此，正确答案为 $\boxed{B}$。
解析
步骤 1：应用格林公式
格林公式用于计算平面区域的面积，公式为 $A = \frac{1}{2} \oint_C x \, dy - y \, dx$。其中，$C$ 是区域的边界曲线，$x$ 和 $y$ 是曲线上的坐标。
步骤 2：代入椭圆参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a \cos \theta$ 和 $y = b \sin \theta$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。计算 $dx$ 和 $dy$： \[ dx = -a \sin \theta \, d\theta, \quad dy = b \cos \theta \, d\theta \]
步骤 3：计算面积
将 $x$，$y$，$dx$ 和 $dy$ 代入格林公式： \[ A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left[ a \cos \theta \cdot b \cos \theta + b \sin \theta \cdot a \sin \theta \right] d\theta \] \[ A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} ab (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \, d\theta \] \[ A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} ab \, d\theta \] \[ A = \frac{1}{2} ab \int_0^{2\pi} d\theta \] \[ A = \frac{1}{2} ab \cdot 2\pi = \pi ab \]
格林公式用于计算平面区域的面积，公式为 $A = \frac{1}{2} \oint_C x \, dy - y \, dx$。其中，$C$ 是区域的边界曲线，$x$ 和 $y$ 是曲线上的坐标。
步骤 2：代入椭圆参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a \cos \theta$ 和 $y = b \sin \theta$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。计算 $dx$ 和 $dy$： \[ dx = -a \sin \theta \, d\theta, \quad dy = b \cos \theta \, d\theta \]
步骤 3：计算面积
将 $x$，$y$，$dx$ 和 $dy$ 代入格林公式： \[ A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left[ a \cos \theta \cdot b \cos \theta + b \sin \theta \cdot a \sin \theta \right] d\theta \] \[ A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} ab (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \, d\theta \] \[ A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} ab \, d\theta \] \[ A = \frac{1}{2} ab \int_0^{2\pi} d\theta \] \[ A = \frac{1}{2} ab \cdot 2\pi = \pi ab \]