题目
曲线=x+(sin )^2x在=x+(sin )^2x处的切线方程是________。
曲线
在
处的切线方程是________。
题目解答
答案
∵
∴
∴
∵
∴函数在时的切线方程，其斜率为1，经过
∴切线方程：
∴y=x+1
∴正确答案为：y=x+1
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数$y=x+{\sin }^{2}x$的导数。根据导数的求导法则，我们有：
$$y' = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}({\sin }^{2}x)$$
$$y' = 1 + 2\sin x \cdot \cos x$$
步骤 2：计算斜率
然后，我们需要计算$x=\dfrac {\pi }{2}$时的导数值，即斜率。将$x=\dfrac {\pi }{2}$代入导数表达式中，我们有：
$$y'(\dfrac {\pi }{2}) = 1 + 2\sin(\dfrac {\pi }{2}) \cdot \cos(\dfrac {\pi }{2})$$
$$y'(\dfrac {\pi }{2}) = 1 + 2 \cdot 1 \cdot 0$$
$$y'(\dfrac {\pi }{2}) = 1$$
步骤 3：求切线方程
最后，我们需要求出切线方程。已知斜率为1，且切点为$(\dfrac {\pi }{2}, 1+\dfrac {\pi }{2})$，根据点斜式方程，我们有：
$$y - (1+\dfrac {\pi }{2}) = 1(x - \dfrac {\pi }{2})$$
$$y = x + 1$$
首先，我们需要求出函数$y=x+{\sin }^{2}x$的导数。根据导数的求导法则，我们有：
$$y' = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}({\sin }^{2}x)$$
$$y' = 1 + 2\sin x \cdot \cos x$$
步骤 2：计算斜率
然后，我们需要计算$x=\dfrac {\pi }{2}$时的导数值，即斜率。将$x=\dfrac {\pi }{2}$代入导数表达式中，我们有：
$$y'(\dfrac {\pi }{2}) = 1 + 2\sin(\dfrac {\pi }{2}) \cdot \cos(\dfrac {\pi }{2})$$
$$y'(\dfrac {\pi }{2}) = 1 + 2 \cdot 1 \cdot 0$$
$$y'(\dfrac {\pi }{2}) = 1$$
步骤 3：求切线方程
最后，我们需要求出切线方程。已知斜率为1，且切点为$(\dfrac {\pi }{2}, 1+\dfrac {\pi }{2})$，根据点斜式方程，我们有：
$$y - (1+\dfrac {\pi }{2}) = 1(x - \dfrac {\pi }{2})$$
$$y = x + 1$$