设函数 y = y ( x ) 由 cases ( x = t ^ 2 -2 t + 1 , e ^ y sin t - y + 1 = 0 ) 确定则 . ( d ^ 2 y ) div ( dx ^ 2 ) mid _ ( t = 0 ) =

步骤 1：求导数 $\frac{dy}{dt}$ 和 $\frac{dx}{dt}$
由 $e^y \sin t - y + 1 = 0$，对 $t$ 求导，得到
$$
e^y \cos t \frac{dy}{dt} + e^y \sin t - \frac{dy}{dt} = 0
$$
整理得到
$$
\frac{dy}{dt} = \frac{e^y \sin t}{1 - e^y \cos t}
$$
由 $x = t^2 - 2t + 1$，对 $t$ 求导，得到
$$
\frac{dx}{dt} = 2t - 2
$$
步骤 2：求导数 $\frac{dy}{dx}$
由 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，代入 $\frac{dy}{dt}$ 和 $\frac{dx}{dt}$，得到
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{e^y \sin t}{(1 - e^y \cos t)(2t - 2)}
$$
步骤 3：求导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$
对 $\frac{dy}{dx}$ 关于 $t$ 求导，得到
$$
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx}
$$
代入 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{dx}{dt}$，得到
$$
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{e^y \sin t}{(1 - e^y \cos t)(2t - 2)}\right) \cdot \frac{1}{2t - 2}
$$
步骤 4：计算 $\frac{d^2y}{dx^2}|_{t=0}$
将 $t=0$ 代入，得到
$$
\frac{d^2y}{dx^2}|_{t=0} = \frac{d}{dt}\left(\frac{e^y \sin t}{(1 - e^y \cos t)(2t - 2)}\right) \cdot \frac{1}{-2}
$$
由于 $t=0$ 时，$x=1$，$y=1$，代入得到
$$
\frac{d^2y}{dx^2}|_{t=0} = \frac{d}{dt}\left(\frac{e \sin t}{(1 - e \cos t)(2t - 2)}\right) \cdot \frac{1}{-2}
$$
计算得到
$$
\frac{d^2y}{dx^2}|_{t=0} = \frac{e(2e-3)}{4}
$$