题目
【例38】求极限lim_(xto0)((1)/(sin x)-(1)/(e^x)-1).
【例38】求极限$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right).$
题目解答
答案
将原式合并为一个分数：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1) - \sin x}{\sin x (e^x - 1)}
\]
利用等价无穷小 $\sin x \sim x$ 和 $e^x - 1 \sim x$，得：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1) - \sin x}{x^2}
\]
应用洛必达法则两次：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{2x} \quad \xrightarrow{\text{洛必达}} \quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{2} = \frac{1}{2}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{1}{2}}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算方法，涉及分式合并、等价无穷小替换、洛必达法则的应用，以及泰勒展开的灵活运用。
解题核心思路：
- 合并分式：将两个分式通分，转化为分子为两个无穷小量之差的形式。
- 等价无穷小替换：利用$\sin x \sim x$和$e^x -1 \sim x$简化分母。
- 洛必达法则：对$\frac{0}{0}$型不定式连续两次求导，逐步化简极限表达式。
- 泰勒展开验证：通过展开高阶项分析分子的主部，进一步确认结果。
破题关键点：
- 识别分式结构，正确通分合并。
- 选择恰当的等价无穷小替换简化计算。
- 灵活应用洛必达法则处理多次$\frac{0}{0}$型极限。
步骤1：合并分式
将原式通分，得到：
$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x -1) - \sin x}{\sin x (e^x -1)}.$
步骤2：等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，$e^x -1 \sim x$，因此分母$\sin x (e^x -1) \sim x \cdot x = x^2$，原式化简为：
$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x -1) - \sin x}{x^2}.$
步骤3：第一次洛必达法则
分子$(e^x -1) - \sin x$和分母$x^2$均趋近于0，应用洛必达法则：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{2x}.$
步骤4：第二次洛必达法则
分子$e^x - \cos x$和分母$2x$仍为$\frac{0}{0}$型，再次应用洛必达法则：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{2} = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}.$
验证（泰勒展开）：
将$e^x -1$和$\sin x$展开到二阶项：
$e^x -1 = x + \frac{x^2}{2} + o(x^2), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).$
分子主部为$\frac{x^2}{2}$，分母为$x^2$，故极限为$\frac{1}{2}$。