题目
40.求极限lim_(ntoinfty)((n+1)/(1^2)+n^(2)+(n+frac(1)/(2))(2^2+n^2)+...+(n+frac(1)/(n))(n^2+n^2)).
40.求极限$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{1^{2}+n^{2}}+\frac{n+\frac{1}{2}}{2^{2}+n^{2}}+\cdots+\frac{n+\frac{1}{n}}{n^{2}+n^{2}}\right).$
题目解答
答案
将原和式重写为：
\[
\sum_{k=1}^n \frac{n + \frac{1}{k}}{k^2 + n^2} = \sum_{k=1}^n \frac{n}{k^2 + n^2} + \sum_{k=1}^n \frac{\frac{1}{k}}{k^2 + n^2}
\]
第一部分：
\[
\sum_{k=1}^n \frac{n}{k^2 + n^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1} \to \int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \frac{\pi}{4}
\]
第二部分：
\[
\sum_{k=1}^n \frac{\frac{1}{k}}{k^2 + n^2} \leq \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \approx \frac{\ln n}{n^2} \to 0
\]
因此，原极限为：
\[
\boxed{\frac{\pi}{4}}
\]
解析
步骤 1：重写和式
将原和式重写为： \[ \sum_{k=1}^n \frac{n + \frac{1}{k}}{k^2 + n^2} = \sum_{k=1}^n \frac{n}{k^2 + n^2} + \sum_{k=1}^n \frac{\frac{1}{k}}{k^2 + n^2} \]
步骤 2：计算第一部分的极限
第一部分： \[ \sum_{k=1}^n \frac{n}{k^2 + n^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1} \] 当 $n \to \infty$ 时，这个和式可以看作是函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ 在区间 $[0, 1]$ 上的黎曼和，因此其极限为： \[ \int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \left. \arctan(x) \right|_0^1 = \frac{\pi}{4} \]
步骤 3：计算第二部分的极限
第二部分： \[ \sum_{k=1}^n \frac{\frac{1}{k}}{k^2 + n^2} \leq \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \] 由于 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ 是调和级数，其增长速度为 $\ln n$，因此： \[ \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \approx \frac{\ln n}{n^2} \to 0 \] 当 $n \to \infty$ 时，第二部分的极限为 0。
将原和式重写为： \[ \sum_{k=1}^n \frac{n + \frac{1}{k}}{k^2 + n^2} = \sum_{k=1}^n \frac{n}{k^2 + n^2} + \sum_{k=1}^n \frac{\frac{1}{k}}{k^2 + n^2} \]
步骤 2：计算第一部分的极限
第一部分： \[ \sum_{k=1}^n \frac{n}{k^2 + n^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1} \] 当 $n \to \infty$ 时，这个和式可以看作是函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ 在区间 $[0, 1]$ 上的黎曼和，因此其极限为： \[ \int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \left. \arctan(x) \right|_0^1 = \frac{\pi}{4} \]
步骤 3：计算第二部分的极限
第二部分： \[ \sum_{k=1}^n \frac{\frac{1}{k}}{k^2 + n^2} \leq \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \] 由于 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ 是调和级数，其增长速度为 $\ln n$，因此： \[ \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \approx \frac{\ln n}{n^2} \to 0 \] 当 $n \to \infty$ 时，第二部分的极限为 0。