题目
13.求曲线 =cos x 上点 (dfrac (pi )(3),dfrac (1)(2)) 处的切线方程和法线方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $y=\cos x$ 在点 $(\dfrac {\pi }{3},\dfrac {1}{2})$ 处的导数，即求出该点处的斜率。函数 $y=\cos x$ 的导数为 $y'=-\sin x$。
步骤 2：计算斜率
将点 $(\dfrac {\pi }{3},\dfrac {1}{2})$ 的横坐标代入导数 $y'=-\sin x$ 中，得到斜率为 $-\sin \dfrac {\pi }{3}=-\dfrac {\sqrt {3}}{2}$。
步骤 3：求切线方程
根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，其中 $(x_1,y_1)$ 是点 $(\dfrac {\pi }{3},\dfrac {1}{2})$，斜率 $m=-\dfrac {\sqrt {3}}{2}$，代入得到切线方程为 $y-\dfrac {1}{2}=-\dfrac {\sqrt {3}}{2}(x-\dfrac {\pi }{3})$，整理得到 $\dfrac {\sqrt {3}}{2}x+y-\dfrac {1}{2}(1+\dfrac {\sqrt {3}}{3}\pi )=0$。
步骤 4：求法线方程
法线方程的斜率是切线斜率的负倒数，即 $\dfrac {2\sqrt {3}}{3}$。根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，其中 $(x_1,y_1)$ 是点 $(\dfrac {\pi }{3},\dfrac {1}{2})$，斜率 $m=\dfrac {2\sqrt {3}}{3}$，代入得到法线方程为 $y-\dfrac {1}{2}=\dfrac {2\sqrt {3}}{3}(x-\dfrac {\pi }{3})$，整理得到 $\dfrac {2\sqrt {3}}{3}x-y+\dfrac {1}{2}-\dfrac {2\sqrt {3}}{9}\pi =0$。
首先，我们需要求出函数 $y=\cos x$ 在点 $(\dfrac {\pi }{3},\dfrac {1}{2})$ 处的导数，即求出该点处的斜率。函数 $y=\cos x$ 的导数为 $y'=-\sin x$。
步骤 2：计算斜率
将点 $(\dfrac {\pi }{3},\dfrac {1}{2})$ 的横坐标代入导数 $y'=-\sin x$ 中，得到斜率为 $-\sin \dfrac {\pi }{3}=-\dfrac {\sqrt {3}}{2}$。
步骤 3：求切线方程
根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，其中 $(x_1,y_1)$ 是点 $(\dfrac {\pi }{3},\dfrac {1}{2})$，斜率 $m=-\dfrac {\sqrt {3}}{2}$，代入得到切线方程为 $y-\dfrac {1}{2}=-\dfrac {\sqrt {3}}{2}(x-\dfrac {\pi }{3})$，整理得到 $\dfrac {\sqrt {3}}{2}x+y-\dfrac {1}{2}(1+\dfrac {\sqrt {3}}{3}\pi )=0$。
步骤 4：求法线方程
法线方程的斜率是切线斜率的负倒数，即 $\dfrac {2\sqrt {3}}{3}$。根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，其中 $(x_1,y_1)$ 是点 $(\dfrac {\pi }{3},\dfrac {1}{2})$，斜率 $m=\dfrac {2\sqrt {3}}{3}$，代入得到法线方程为 $y-\dfrac {1}{2}=\dfrac {2\sqrt {3}}{3}(x-\dfrac {\pi }{3})$，整理得到 $\dfrac {2\sqrt {3}}{3}x-y+\dfrac {1}{2}-\dfrac {2\sqrt {3}}{9}\pi =0$。