20】计算极限：lim_(xto0)(e^x-e^sin x)/(sqrt[3](1+x^3)-1).

为了计算极限 $\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-e^{\sin x}}{\sqrt[3]{1+x^{3}}-1}$，我们将使用泰勒级数展开和洛必达法则。让我们一步步进行。 ### 第1步：泰勒级数展开 首先，我们展开 $e^x$，$e^{\sin x}$，和 $\sqrt[3]{1+x^3}$ 在 $x = 0$ 附近的泰勒级数。 1. $e^x$ 的泰勒级数是： \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^4) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4). \] 2. $\sin x$ 的泰勒级数是： \[ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5). \] 将此代入 $e^{\sin x}$ 的泰勒级数中，我们得到： \[ e^{\sin x} = 1 + \sin x + \frac{\sin^2 x}{2} + \frac{\sin^3 x}{6} + O(\sin^4 x) = 1 + \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) + \frac{\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right)^2}{2} + \frac{\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right)^3}{6} + O(x^4). \] 简化到 $x^3$ 项，我们有： \[ e^{\sin x} = 1 + x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} + O(x^3). \] 3. $\sqrt[3]{1+x^3}$ 的泰勒级数是： \[ \sqrt[3]{1+x^3} = 1 + \frac{x^3}{3} + O(x^6). \] ### 第2步：将泰勒级数代入极限 现在，将这些泰勒级数代入原始极限： \[ \lim_{x\to0}\frac{e^x - e^{\sin x}}{\sqrt[3]{1+x^3} - 1} = \lim_{x\to0}\frac{\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)\right) - \left(1 + x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} + O(x^3)\right)}{\left(1 + \frac{x^3}{3} + O(x^6)\right) - 1}. \] ### 第3步：简化表达式 简化分子： \[ e^x - e^{\sin x} = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)\right) - \left(1 + x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} + O(x^3)\right) = \frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{6} + O(x^4) = \frac{x^3}{3} + O(x^4). \] 简化分母： \[ \sqrt[3]{1+x^3} - 1 = \left(1 + \frac{x^3}{3} + O(x^6)\right) - 1 = \frac{x^3}{3} + O(x^6). \] ### 第4步：计算极限 现在，极限变为： \[ \lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{3} + O(x^4)}{\frac{x^3}{3} + O(x^6)}. \] 当 $x \to 0$ 时，高阶项 $O(x^4)$ 和 $O(x^6)$ 趋于零，因此极限简化为： \[ \lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{3}}{\frac{x^3}{3}} = 1. \] 因此，极限是： \[ \boxed{1}. \]