题目

16. Re s [(e^2z)/(z(z-1)^2),1] =____.

16. Re s $[\frac{e^{2z}}{z(z-1)^{2}},1]$ =____.

题目解答

答案

为了找到函数 $ f(z) = \frac{e^{2z}}{z(z-1)^2} $ 在 $ z = 1 $ 处的留数，我们需要使用在极点处留数的公式。由于 $ z = 1 $ 是一个二阶极点，函数 $ f(z) $ 在 $ z = 1 $ 处的留数由下式给出： \[ \text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} \frac{d}{dz} \left( (z-1)^2 f(z) \right) \] 首先，我们计算 $ (z-1)^2 f(z) $： \[ (z-1)^2 f(z) = (z-1)^2 \cdot \frac{e^{2z}}{z(z-1)^2} = \frac{e^{2z}}{z} \] 接下来，我们需要对 $ \frac{e^{2z}}{z} $ 关于 $ z $ 求导： \[ \frac{d}{dz} \left( \frac{e^{2z}}{z} \right) = \frac{2ze^{2z} - e^{2z}}{z^2} = \frac{(2z-1)e^{2z}}{z^2} \] 现在，我们取 $ z $ 趋近于 1 的极限： \[ \lim_{z \to 1} \frac{(2z-1)e^{2z}}{z^2} = \frac{(2 \cdot 1 - 1)e^{2 \cdot 1}}{1^2} = \frac{1 \cdot e^2}{1} = e^2 \] 因此，函数 $ f(z) = \frac{e^{2z}}{z(z-1)^2} $ 在 $ z = 1 $ 处的留数是： \[ \boxed{e^2} \]

解析

本题考查复变函数中留数的计算，具体是在二阶极点处留数的计算。解题思路是先判断极点的阶数，对于二阶极点，使用留数计算公式$\text{Res}(f, z_0)=\lim_{z \to z_0} \frac{d}{dz} \left( (z - z_0)^2 f(z) \right)$，其中$z_0$为极点，$f(z)$为给定的复变函数。然后按照公式逐步计算。

  1. 首先，确定函数$f(z)=\frac{e^{2z}}{z(z - 1)^2}$的极点$z_0 = 1$，它是一个二阶极点。
  2. 计算$(z - 1)^2 f(z)$：
    • 根据公式$(z - 1)^2 f(z)=(z - 1)^2\cdot\frac{e^{2z}}{z(z - 1)^2}$，约去$(z - 1)^2$，得到$(z - 1)^2 f(z)=\frac{e^{2z}}{z}$。
  3. 对$\frac{e^{2z}}{z}$关于$z$求导：
    • 根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，这里$u = e^{2z}$，$v = z$。
    • 先求$u^\prime$，对$u = e^{2z}$求导，根据复合函数求导法则$(e^{ax})^\prime=ae^{ax}$，可得$u^\prime = 2e^{2z}$，$v^\prime = 1$。
    • 则$\frac{d}{dz} \left( \frac{e^{2z}}{z} \right)=\frac{2ze^{2z}-e^{2z}}{z^2}=\frac{(2z - 1)e^{2z}}{z^2}$。
  4. 求$z$趋近于$1$时的极限：
    • 计算$\lim_{z \to 1} \frac{(2z - 1)e^{2z}}{z^2}$，将$z = 1$代入$\frac{(2z - 1)e^{2z}}{z^2}$，得到$\frac{(2\times1 - 1)e^{2\times1}}{1^2}$。
    • 先计算分子$(2\times1 - 1)e^{2\times1}=1\times e^2=e^2$，分母$1^2 = 1$，所以$\lim_{z \to 1} \frac{(2z - 1)e^{2z}}{z^2}=e^2$。