题目

13.(2002年数学三,十一)-|||-假设随机变量U在区间 [ -2,2] 上服从均匀分布,随机变量-|||-,-|||-x= ) -1, Uleqslant -1, 1, Ugt -1, .-|||-试求:-|||-(1)X和Y的联合概率分布;-|||-(2) (X+Y).

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查随机变量的联合概率分布和方差的计算。需要根据给定的随机变量定义，分析其取值对应的区间，结合均匀分布的概率计算联合分布，再通过变量变换求方差。

解题思路：

  1. 确定X和Y的取值条件：根据U的不同区间，明确X和Y的取值规则。
  2. 划分联合事件的区间：将(X,Y)的可能组合转化为U的区间，计算各区间的概率。
  3. 计算方差：先求X+Y的分布，再通过期望和平方期望计算方差。

破题关键：

  • 区间划分：将X和Y的取值条件转化为U的具体区间，注意区间重叠或矛盾的情况。
  • 概率计算：利用均匀分布的概率公式（区间长度除以总长度）。
  • 变量变换：通过X和Y的组合确定X+Y的可能值及其概率。

(1) X和Y的联合概率分布

分析(X,Y)的可能组合

  • X的取值：当$U \leq -1$时$X=-1$，否则$X=1$。
  • Y的取值：当$U \leq 1$时$Y=-1$，否则$Y=1$。

计算各组合的概率

  1. $X=-1$且$Y=-1$
    对应$U \leq -1$，区间长度为$(-1) - (-2) = 1$，概率为$\frac{1}{4}$。

  2. $X=-1$且$Y=1$
    需同时满足$U \leq -1$和$U > 1$，无解，概率为$0$。

  3. $X=1$且$Y=-1$
    对应$-1 < U \leq 1$，区间长度为$1 - (-1) = 2$，概率为$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

  4. $X=1$且$Y=1$
    对应$U > 1$，区间长度为$2 - 1 = 1$，概率为$\frac{1}{4}$。

联合分布表：

X Y P(X,Y)
-1 -1 1/4
-1 1 0
1 -1 1/2
1 1 1/4

(2) $D(X+Y)$

确定$X+Y$的可能值及概率

  • $X+Y=-2$：当$X=-1$且$Y=-1$，概率$\frac{1}{4}$。
  • $X+Y=0$：当$X=1$且$Y=-1$，概率$\frac{1}{2}$。
  • $X+Y=2$：当$X=1$且$Y=1$，概率$\frac{1}{4}$。

计算期望$E(X+Y)$

$E(X+Y) = (-2) \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0$

计算$E[(X+Y)^2]$

$E[(X+Y)^2] = (-2)^2 \cdot \frac{1}{4} + 0^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{1}{4} = 2$

求方差

$D(X+Y) = E[(X+Y)^2] - [E(X+Y)]^2 = 2 - 0 = 2$