5【单选题】lim_(ntoinfty)(1+(1)/(n))^n+5=( ).A. 5;B. 1;C. e;D. e^5.

本题考查重要极限公式$\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e$的应用。解题思路是先对原式进行变形，然后利用极限的运算法则和重要极限公式进行计算。

1. 对原式$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+5}$进行变形：
   根据指数运算法则$a^{m+n}=a^m\times a^n$，可得$(1+\frac{1}{n})^{n+5}=(1+\frac{1}{n})^n\times(1+\frac{1}{n})^5$。
   所以$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+5}=\lim_{n\to\infty}[(1+\frac{1}{n})^n\times(1+\frac{1}{n})^5]$。

2. 利用极限的乘法运算法则$\lim_{n\to\infty}[f(n)\times g(n)]=\lim_{n\to\infty}f(n)\times\lim_{n\to\infty}g(n)$：
   令$f(n)=(1+\frac{1}{n})^n$，$g(n)=(1+\frac{1}{n})^5$，则$\lim_{n\to\infty}[(1+\frac{1}{n})^n\times(1+\frac{1}{n})^5]=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n\times\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^5$。

3. 分别计算两个极限：

   • 根据重要极限公式$\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e$，可得$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e$。
   • 对于$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^5$，因为$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$，所以$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^5=(1 + 0)^5 = 1$。

4. 将两个极限的结果相乘：
   $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n\times\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^5=e\times1 = e$。