题目

17、位于曲线y=x(e^-x)(0le xle +infty )下方，x轴上方的无界图形的面积是____。

17、位于曲线$y=x{e^{-x}}(0\le x\le +\infty )$下方，x轴上方的无界图形的面积是____。

题目解答

答案

为了求出位于曲线 $ y = x e^{-x} $ (其中 $ 0 \le x \le +\infty $) 下方，x轴上方的无界图形的面积，我们需要计算定积分 $ \int_0^{+\infty} x e^{-x} \, dx $。 首先，我们使用分部积分法来计算这个积分。分部积分法的公式是： \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du. \] 我们选择 $ u = x $ 和 $ dv = e^{-x} \, dx $。那么， $ du = dx $ 和 $ v = -e^{-x} $。代入分部积分法的公式，我们得到： \[ \int_0^{+\infty} x e^{-x} \, dx = \left[ -x e^{-x} \right]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} -e^{-x} \, dx. \] 简化右边的表达式，我们有： \[ \int_0^{+\infty} x e^{-x} \, dx = \left[ -x e^{-x} \right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx. \] 接下来，我们分别计算这两个项。首先，计算 $ \left[ -x e^{-x} \right]_0^{+\infty} $： \[ \left[ -x e^{-x} \right]_0^{+\infty} = \lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x}) - (-0 e^{-0}) = \lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x}) - 0 = \lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x}). \] 为了求 $ \lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x}) $，我们使用洛必达法则。洛必达法则适用于 $ \frac{\infty}{\infty} $ 和 $ \frac{0}{0} $ 的形式，所以我们将 $ -x e^{-x} $ 写成 $ -\frac{x}{e^x} $： \[ \lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x}) = -\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = -\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = -0 = 0. \] 因此， $ \left[ -x e^{-x} \right]_0^{+\infty} = 0 $。 现在，我们计算第二个项 $ \int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx $： \[ \int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^{+\infty} = \lim_{x \to +\infty} (-e^{-x}) - (-e^{-0}) = \lim_{x \to +\infty} (-e^{-x}) + 1 = 0 + 1 = 1. \] 将这两个结果代回原表达式，我们得到： \[ \int_0^{+\infty} x e^{-x} \, dx = 0 + 1 = 1. \] 因此，位于曲线 $ y = x e^{-x} $ (其中 $ 0 \le x \le +\infty $) 下方，x轴上方的无界图形的面积是 $\boxed{1}$。

解析

本题考查利用定积分求无界图形的面积以及分部积分法和洛必达法则的应用。解题思路如下：

  1. 首先明确要求曲线$y = x e^{-x}(0\leq x\leq +\infty)$下方，$x$轴上方的无界图形的面积，根据定积分的几何意义，该面积可表示为定积分$\int_{0}^{+\infty} x e^{-x}dx$。
  2. 然后使用分部积分法计算该积分，分部积分法公式为$\int u dv = uv - \int v du$。
    • 选择$u = x$，$dv = e^{-x}dx$，对$u$求导得$du = dx$，对$dv$积分得$v = -e^{-x}$。
    • 将$u$、$v$、$du$、$dv$代入分部积分公式可得：
      $\int_{0}^{+\infty} x e^{-x}dx = \left[-x e^{-x}\right]_{0}^{+\infty} - \int_{0}^{+\infty} (-e^{-x})dx=\left[-x e^{-x}\right]_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} e^{-x}dx$
  3. 接着分别计算$\left[-x e^{-x}\right]_{0}^{+\infty}$和$\int_{0}^{+\infty} e^{-x}dx$。
    • 计算$\left[-x e^{-x}\right]_{0}^{+\infty}$：
      $\left[-x e^{-x}\right]_{0}^{+\infty}=\lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x}) - (-0\times e^{-0})=\lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x})$
      为了求$\lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x})$，将其变形为$-\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x}}$，此时为$\frac{\infty}{\infty}$型，使用洛必达法则，对分子分母分别求导，可得$-\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{x}} = 0$，所以$\left[-x e^{-x}\right]_{0}^{+\infty} = 0$。
    • 计算$\int_{0}^{+\infty} e^{-x}dx$：
      $\int_{0}^{+\infty} e^{-x}dx = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{+\infty}=\lim_{x \to +\infty} (-e^{-x}) - (-e^{-0})=\lim_{x \to +\infty} (-e^{-x}) + 1 = 0 + 1 = 1$
  4. 最后将上述两个结果代入$\int_{0}^{+\infty} x e^{-x}dx = \left[-x e^{-x}\right]_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} e^{-x}dx$，可得$\int_{0}^{+\infty} x e^{-x}dx = 0 + 1 = 1$。