题目
设二维随机变量(X,Y)的联合密度为 [ f(x,y)= } 6e^-2x-3y, & x > 0, y > 0 0, & (其他)
设二维随机变量$(X,Y)$的联合密度为
$f(x,y)= \begin{cases} 6e^{-2x-3y}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
那么随机变量$X$的边缘密度函数为
A $f_x(x)= \begin{cases} 0, & x \geq 0 \\ 3e^{-3x}, & x < 0 \end{cases}$
B $f_x(x)= \begin{cases} 0, & x \geq 0 \\ 2e^{-2x}, & x < 0 \end{cases}$
C $f_x(x)= \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ 2e^{-2x}, & x > 0 \end{cases}$
D $f_x(x)= \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ 3e^{-3x}, & x > 0 \end{cases}$
题目解答
答案
为了找到随机变量 $X$ 的边缘密度函数，我们需要对联合密度函数 $f(x, y)$ 关于 $y$ 进行积分。联合密度函数由下式给出：
\[ f(x, y) = \begin{cases} 6e^{-2x-3y}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他情况} \end{cases} \]
随机变量 $X$ 的边缘密度函数 $f_X(x)$ 通过在 $y$ 的所有可能值上积分联合密度函数来获得。由于 $y$ 的范围从 0 到 $\infty$，我们有：
\[ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy = \int_{0}^{\infty} 6e^{-2x-3y} \, dy \]
我们可以从积分中提取不依赖于 $y$ 的项：
\[ f_X(x) = 6e^{-2x} \int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, dy \]
接下来，我们需要计算积分 $\int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, dy$。这是一个标准的指数积分：
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, dy = \left[ -\frac{1}{3} e^{-3y} \right]_{0}^{\infty} = -\frac{1}{3} \left( e^{-\infty} - e^{0} \right) = -\frac{1}{3} \left( 0 - 1 \right) = \frac{1}{3} \]
将此结果代回 $f_X(x)$ 的表达式中，我们得到：
\[ f_X(x) = 6e^{-2x} \cdot \frac{1}{3} = 2e^{-2x} \]
这个结果在 $x > 0$ 时有效。如果 $x \leq 0$，联合密度函数对于所有 $y$ 都为零，因此边缘密度函数也是零。因此，随机变量 $X$ 的边缘密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ 2e^{-2x}, & x > 0 \end{cases} \]
正确答案是：
\[\boxed{C}\]
解析
步骤 1：确定边缘密度函数的定义
边缘密度函数 $f_X(x)$ 是通过在联合密度函数 $f(x, y)$ 中对 $y$ 进行积分得到的。对于给定的 $x$，$f_X(x)$ 表示 $X$ 在 $x$ 处的密度，不考虑 $Y$ 的值。
步骤 2：计算边缘密度函数 $f_X(x)$
根据题目中的联合密度函数 $f(x, y)$，我们有：
\[ f(x, y) = \begin{cases} 6e^{-2x-3y}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \]
为了找到 $X$ 的边缘密度函数 $f_X(x)$，我们需要对 $f(x, y)$ 关于 $y$ 进行积分。由于 $y$ 的范围从 0 到 $\infty$，我们有：
\[ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy = \int_{0}^{\infty} 6e^{-2x-3y} \, dy \]
步骤 3：计算积分
我们可以从积分中提取不依赖于 $y$ 的项：
\[ f_X(x) = 6e^{-2x} \int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, dy \]
接下来，我们需要计算积分 $\int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, dy$。这是一个标准的指数积分：
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, dy = \left[ -\frac{1}{3} e^{-3y} \right]_{0}^{\infty} = -\frac{1}{3} \left( e^{-\infty} - e^{0} \right) = -\frac{1}{3} \left( 0 - 1 \right) = \frac{1}{3} \]
将此结果代回 $f_X(x)$ 的表达式中，我们得到：
\[ f_X(x) = 6e^{-2x} \cdot \frac{1}{3} = 2e^{-2x} \]
这个结果在 $x > 0$ 时有效。如果 $x \leq 0$，联合密度函数对于所有 $y$ 都为零，因此边缘密度函数也是零。
边缘密度函数 $f_X(x)$ 是通过在联合密度函数 $f(x, y)$ 中对 $y$ 进行积分得到的。对于给定的 $x$，$f_X(x)$ 表示 $X$ 在 $x$ 处的密度，不考虑 $Y$ 的值。
步骤 2：计算边缘密度函数 $f_X(x)$
根据题目中的联合密度函数 $f(x, y)$，我们有：
\[ f(x, y) = \begin{cases} 6e^{-2x-3y}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \]
为了找到 $X$ 的边缘密度函数 $f_X(x)$，我们需要对 $f(x, y)$ 关于 $y$ 进行积分。由于 $y$ 的范围从 0 到 $\infty$，我们有：
\[ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy = \int_{0}^{\infty} 6e^{-2x-3y} \, dy \]
步骤 3：计算积分
我们可以从积分中提取不依赖于 $y$ 的项：
\[ f_X(x) = 6e^{-2x} \int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, dy \]
接下来，我们需要计算积分 $\int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, dy$。这是一个标准的指数积分：
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, dy = \left[ -\frac{1}{3} e^{-3y} \right]_{0}^{\infty} = -\frac{1}{3} \left( e^{-\infty} - e^{0} \right) = -\frac{1}{3} \left( 0 - 1 \right) = \frac{1}{3} \]
将此结果代回 $f_X(x)$ 的表达式中，我们得到：
\[ f_X(x) = 6e^{-2x} \cdot \frac{1}{3} = 2e^{-2x} \]
这个结果在 $x > 0$ 时有效。如果 $x \leq 0$，联合密度函数对于所有 $y$ 都为零，因此边缘密度函数也是零。