已知函数 f(x) 在 x=0 的某邻域内可导，且 lim_(x to 0) ( (sin x)/(x^2) + (f(x))/(x) ) = 2，试求 f(0)，f'(0) 及 lim_(x to 0) (x)/(f(x) + e^x).

我们来逐步分析并解决这个问题。 --- ### **题目已知条件：** 函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 的某邻域内可导，且满足： $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x^2} + \frac{f(x)}{x} \right) = 2 $$ 要求： 1. 求 $ f(0) $ 2. 求 $ f'(0) $ 3. 求 $ \lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x) + e^x} $ --- ## **第一步：分析极限表达式** 我们从已知的极限条件出发： $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x^2} + \frac{f(x)}{x} \right) = 2 $$ ### **1.1 先处理 $\frac{\sin x}{x^2}$ 的极限** 我们知道泰勒展开式： $$ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) $$ 所以： $$ \frac{\sin x}{x^2} = \frac{x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{x}{6} + o(x) $$ 当 $ x \to 0 $ 时，$\frac{\sin x}{x^2} \to \infty$，但我们不能直接代入，而是要结合整个表达式。 --- ### **1.2 设 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处可导，即可以写成泰勒展开式：** 设： $$ f(x) = f(0) + f'(0)x + o(x) $$ 则： $$ \frac{f(x)}{x} = \frac{f(0)}{x} + f'(0) + \frac{o(x)}{x} $$ 代入原极限： $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x^2} + \frac{f(x)}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x^2} + \frac{f(0)}{x} + f'(0) + \frac{o(x)}{x} \right) $$ 我们分析每一项的极限： - $\frac{\sin x}{x^2} \to \infty$ - $\frac{f(0)}{x} \to \infty$ 或 $-\infty$（取决于 $ f(0) $ 符号） - $f'(0)$ 是常数 - $\frac{o(x)}{x} \to 0$ 为了整个表达式收敛为 2，必须使得 $\frac{\sin x}{x^2} + \frac{f(0)}{x} \to \text{有限值}$，所以我们设： $$ \frac{\sin x}{x^2} + \frac{f(0)}{x} \to \text{有限值} $$ 从泰勒展开： $$ \frac{\sin x}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{x}{6} + o(x) $$ 所以： $$ \frac{\sin x}{x^2} + \frac{f(0)}{x} = \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{6} + o(x) \right) + \frac{f(0)}{x} = \frac{1 + f(0)}{x} - \frac{x}{6} + o(x) $$ 为了让这个表达式在 $ x \to 0 $ 时收敛，必须有： $$ \frac{1 + f(0)}{x} \to \text{有限值} \Rightarrow 1 + f(0) = 0 \Rightarrow f(0) = -1 $$ --- ## **第二步：代入 $ f(0) = -1 $，求 $ f'(0) $** 我们现在知道： $$ f(x) = -1 + f'(0)x + o(x) $$ 代入原极限： $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x^2} + \frac{f(x)}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x^2} + \frac{-1 + f'(0)x + o(x)}{x} \right) $$ $$ = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x^2} + \frac{-1}{x} + f'(0) + \frac{o(x)}{x} \right) $$ 我们已知： $$ \frac{\sin x}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{x}{6} + o(x) $$ 所以： $$ \frac{\sin x}{x^2} + \frac{-1}{x} = \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{6} + o(x) \right) + \frac{-1}{x} = -\frac{x}{6} + o(x) $$ 所以整个极限变为： $$ \lim_{x \to 0} \left( -\frac{x}{6} + o(x) + f'(0) \right) = f'(0) $$ 题目中给出这个极限等于 2，所以： $$ f'(0) = 2 $$ --- ## **第三步：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x) + e^x}$** 我们已经知道： - $ f(x) = -1 + 2x + o(x) $ - $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) $ 所以： $$ f(x) + e^x = (-1 + 2x + o(x)) + (1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)) = 3x + \frac{x^2}{2} + o(x) $$ 因此： $$ \frac{x}{f(x) + e^x} = \frac{x}{3x + \frac{x^2}{2} + o(x)} = \frac{1}{3 + \frac{x}{2} + o(1)} $$ 当 $ x \to 0 $ 时，$\frac{x}{2} \to 0$，所以： $$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x) + e^x} = \frac{1}{3} $$ --- ## **最终答案：** 1. $ f(0) = \boxed{-1} $ 2. $ f'(0) = \boxed{2} $ 3. $ \lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x) + e^x} = \boxed{\frac{1}{3}} $