题目

简答题（10.0分）8.int xsin xdx

简答题（10.0分） 8.$\int x\sin xdx$

题目解答

答案

要解决积分 $\int x \sin x \, dx$，我们将使用分部积分法。分部积分法的公式是： \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 我们需要选择 $u$ 和 $dv$。让我们设 $u = x$ 和 $dv = \sin x \, dx$。那么，我们有 $du = dx$ 和 $v = -\cos x$（因为 $\int \sin x \, dx = -\cos x$）。 将这些代入分部积分法的公式中，我们得到： \[ \int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx \] 简化右边，我们有： \[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx \] 我们知道 $\int \cos x \, dx = \sin x$，所以我们可以将这个代入： \[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C \] 其中 $C$ 是积分常数。因此，最终答案是： \[ \boxed{-x \cos x + \sin x + C} \]

解析

本题考查不定积分的分部积分法。解题思路是根据分部积分法公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，合理选择$u$和$dv$，然后逐步计算。

  1. 首先，根据分部积分法的原则，我们选择$u = x$，$dv = \sin x \, dx$。
    • 对$u = x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，这里$n = 1$，可得$du = dx$。
    • 对$dv = \sin x \, dx$积分，根据积分公式$\int\sin xdx=-\cos x + C_1$（$C_1$为常数，在后续计算中可忽略），可得$v = -\cos x$。
  2. 然后，将$u$、$v$、$du$、$dv$代入分部积分法公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$中：
    • 得到$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx$。
  3. 接着，对式子进行化简：
    • $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx$。
  4. 最后，计算$\int \cos x \, dx$：
    • 根据积分公式$\int\cos xdx=\sin x + C_2$（$C_2$为常数），将其代入上式可得$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$（$C = C_2$为积分常数）。