[题目]求导数: =ln (x+sqrt (1+{x)^2})

考查要点：本题主要考查复合函数的求导法则，特别是自然对数函数与根式函数的复合求导，需要熟练运用链式法则和代数化简技巧。

解题核心思路：

1. 链式法则：外层对$\ln(u)$求导，内层对$u = x + \sqrt{1+x^2}$求导。
2. 根式求导：对$\sqrt{1+x^2}$使用链式法则，注意中间变量的导数。
3. 化简技巧：通过分子分母的代数变形，最终简化表达式。

破题关键点：

• 识别复合结构：明确外层函数为$\ln(u)$，内层函数为$x + \sqrt{1+x^2}$。
• 分步求导：先求外层导数，再逐层求内层导数，最后合并结果。
• 约分简化：利用分子和分母的公共因子约分，得到最简形式。

步骤1：应用链式法则
设$u = x + \sqrt{1+x^2}$，则$y = \ln(u)$。根据链式法则：
$y' = \frac{1}{u} \cdot u'$

步骤2：求内层函数$u$的导数
$u = x + \sqrt{1+x^2} = x + (1+x^2)^{1/2}$
对$u$求导：
$u' = \frac{d}{dx}x + \frac{d}{dx}(1+x^2)^{1/2}$
其中，$\frac{d}{dx}x = 1$，而对$(1+x^2)^{1/2}$使用链式法则：
$\frac{d}{dx}(1+x^2)^{1/2} = \frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
因此：
$u' = 1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

步骤3：代入链式法则结果
$y' = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$

步骤4：化简表达式
将分子通分：
$1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}$
代入后：
$y' = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$