9.f(x)=}xe^-(1)/(x),&xneq0,0,&x=0,判断f(x)在x=0处的可导性。

本题考查分段函数在分段点处的可导性判断。解题的关键思路是根据函数在某点可导的定义，通过计算该点处的导数极限来判断可导性。若极限存在，则函数在该点可导；若极限不存在，则函数在该点不可导。对于本题，需要分别计算函数在$x = 0$处的左导数和右导数，若左右导数相等，则函数在该点可导。

根据函数在某点$x_0$处导数的定义：$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$，对于本题$x_0 = 0$，则$f^\prime(0)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$。
已知$f(x)=\begin{cases}xe^{-\frac{1}{x}},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$，所以$f(0)=0$，则$f^\prime(0)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{h e^{-\frac{1}{h}}}{h}$。
对$\frac{h e^{-\frac{1}{h}}}{h}$进行化简，约去$h$（$h\neq0$）可得$e^{-\frac{1}{h}}$，即$f^\prime(0)=\lim\limits_{h \to 0} e^{-\frac{1}{h}}$。
接下来分别计算左导数和右导数：

• 计算右导数$f_{+}^\prime(0)$：
  当$h \to 0^+$时，$\frac{1}{h} \to +\infty$，那么$-\frac{1}{h} \to -\infty$。
  根据指数函数的性质，当$a>1$时，$\lim\limits_{x \to -\infty} a^x = 0$，对于$y = e^x$（$e>1$），所以$\lim\limits_{h \to 0^+} e^{-\frac{1}{h}} = 0$，即$f_{+}^\prime(0)=0$。
• 计算左导数$f_{-}^\prime(0)$：
  当$h \to 0^-$时，$\frac{1}{h} \to -\infty$，那么$-\frac{1}{h} \to +\infty$。
  根据指数函数的性质，当$a>1$时，$\lim\limits_{x \to +\infty} a^x = +\infty$，对于$y = e^x$（$e>1$），所以$\lim\limits_{h \to 0^-} e^{-\frac{1}{h}} = +\infty$，即$f_{-}^\prime(0)=+\infty$。

由于左导数$f_{-}^\prime(0)=+\infty$，右导数$f_{+}^\prime(0)=0$，左右导数不相等，所以$\lim\limits_{h \to 0} e^{-\frac{1}{h}}$不存在，即函数$f(x)$在$x = 0$处不可导。