3.设函数y=y(x)由方程sqrt(ysqrt(1+y)-ln(sqrt(y)+sqrt(1+y))=x)确定，试求导数(dy)/(dx).

为了求解由方程 $\sqrt{y\sqrt{1+y} - \ln(\sqrt{y} + \sqrt{1+y})} = x$ 确定的函数 $y = y(x)$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$，我们首先需要对等式两边进行求导。下面是一个分步的求解过程： 1. **将方程两边平方以消除根号：** \[ y\sqrt{1+y} - \ln(\sqrt{y} + \sqrt{1+y}) = x^2 \] 2. **对等式两边关于 $x$ 求导：** \[ \frac{d}{dx} \left( y\sqrt{1+y} - \ln(\sqrt{y} + \sqrt{1+y}) \right) = \frac{d}{dx} (x^2) \] 右边的导数是： \[ \frac{d}{dx} (x^2) = 2x \] 3. **使用乘积法则和链式法则对左边求导：** \[ \frac{d}{dx} \left( y\sqrt{1+y} \right) = \frac{dy}{dx} \sqrt{1+y} + y \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+y}} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} \left( \sqrt{1+y} + \frac{y}{2\sqrt{1+y}} \right) = \frac{dy}{dx} \left( \frac{2(1+y) + y}{2\sqrt{1+y}} \right) = \frac{dy}{dx} \left( \frac{2 + 3y}{2\sqrt{1+y}} \right) \] \[ \frac{d}{dx} \left( \ln(\sqrt{y} + \sqrt{1+y}) \right) = \frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1+y}} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2\sqrt{1+y}} \cdot \frac{dy}{dx} \right) = \frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1+y}} \cdot \frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{2\sqrt{1+y}} \right) = \frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{2\sqrt{y} \sqrt{1+y}} \right) \] 所以，左边的导数是： \[ \frac{dy}{dx} \left( \frac{2 + 3y}{2\sqrt{1+y}} \right) - \frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{2\sqrt{y} \sqrt{1+y}} \right) = \frac{dy}{dx} \left( \frac{2 + 3y}{2\sqrt{1+y}} - \frac{1}{2\sqrt{y} \sqrt{1+y}} \right) = \frac{dy}{dx} \left( \frac{(2 + 3y)\sqrt{y} - 1}{2\sqrt{y} \sqrt{1+y}} \right) \] 4. **将左右两边的导数相等：** \[ \frac{dy}{dx} \left( \frac{(2 + 3y)\sqrt{y} - 1}{2\sqrt{y} \sqrt{1+y}} \right) = 2x \] 5. **解出 $\frac{dy}{dx}$：** \[ \frac{dy}{dx} = \frac{4x \sqrt{y} \sqrt{1+y}}{(2 + 3y)\sqrt{y} - 1} \] 6. **将 $x = \sqrt{y\sqrt{1+y} - \ln(\sqrt{y} + \sqrt{1+y})}$ 代入：** \[ \frac{dy}{dx} = \frac{4 \sqrt{y\sqrt{1+y} - \ln(\sqrt{y} + \sqrt{1+y})} \sqrt{y} \sqrt{1+y}}{(2 + 3y)\sqrt{y} - 1} \] 因此，导数 $\frac{dy}{dx}$ 为： \[ \boxed{\frac{2 \sqrt{y} \sqrt{1+y} \sqrt{y \sqrt{1+y} - \ln(\sqrt{y} + \sqrt{1+y})}}{(2 + 3y) \sqrt{y} - 1}} \]