[例2]求曲线 =dfrac (1+{e)^-(x^2)}(1-{e)^-(x^2)} 的渐近线.

步骤 1：确定铅直渐近线
首先，我们观察函数 $y=\dfrac {1+{e}^{-{x}^{2}}}{1-{e}^{-{x}^{2}}}$ 的定义域。由于分母 $1-{e}^{-{x}^{2}}$ 不能为零，我们解方程 $1-{e}^{-{x}^{2}}=0$，得到 ${e}^{-{x}^{2}}=1$，即 $-{x}^{2}=0$，从而 $x=0$。因此，$x=0$ 是函数的定义域边界点。我们需要检查 $x=0$ 是否为铅直渐近线。为此，我们计算 $x$ 趋向于 $0$ 时函数的极限。
$$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}y(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {1+{e}^{-{x}^{2}}}{1-{e}^{-{x}^{2}}}$$
由于 $e^{-x^2}$ 在 $x=0$ 时为 $1$，所以分子和分母都趋向于 $2$ 和 $0$，因此极限为无穷大，说明 $x=0$ 是铅直渐近线。

步骤 2：确定水平渐近线
接下来，我们检查函数是否有水平渐近线。为此，我们计算 $x$ 趋向于正无穷大时函数的极限。
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }y(x)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1+{e}^{-{x}^{2}}}{1-{e}^{-{x}^{2}}}$$
由于 $e^{-x^2}$ 在 $x$ 趋向于正无穷大时趋向于 $0$，所以分子和分母都趋向于 $1$ 和 $1$，因此极限为 $1$，说明 $y=1$ 是水平渐近线。