题目

第四次测验题目：设随机变量（X，Y）在圆域x^2+y^2leq r^2上服从均匀分布，求X和Y的相关系数ρ

第四次测验题目： 设随机变量（X，Y）在圆域$x^{2}+y^{2}\leq r^{2}$上服从均匀分布，求X和Y的相关系数ρ

题目解答

答案

1. **计算期望值**： 由于区域对称，$E(X) = E(Y) = 0$。 2. **计算 $E(XY)$**： $E(XY) = \iint_{x^2 + y^2 \leq r^2} xy f(x, y) \, dx \, dy = 0$（被积函数为奇函数）。 3. **计算方差**： $D(X) = E(X^2) = \frac{r^2}{4}$，同理 $D(Y) = \frac{r^2}{4}$。 4. **计算相关系数**： $\rho_{XY} = \frac{E(XY) - E(X)E(Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} = \frac{0 - 0}{\frac{r^2}{4}} = 0$。 **答案**： $\boxed{0}$ **注意**： 相关系数为0表示无线性相关，但不独立（联合密度不等于边际密度乘积）。

解析

本题考查二维均匀分布下随机变量的相关系数的计算，解题思路是先根据均匀分布的性质求出联合概率密度函数，再利用对称性和积分性质分别计算期望值、协方差和方差，最后根据相关系数的定义求出结果。

  1. 确定联合概率密度函数：
    已知随机变量$(X,Y)$在圆域$x^{2}+y^{2}\leq r^{2}$上服从均匀分布，该圆域的面积为$S = \pi r^{2}$，根据二维均匀分布的概率密度函数公式$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{S},&(x,y)\in D\\0,&(x,y)\notin D\end{cases}$，可得$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{\pi r^{2}},&x^{2}+y^{2}\leq r^{2}\\0,&x^{2}+y^{2}> r^{2}\end{cases}$。
  2. 计算期望值$E(X)$和$E(Y)$：
    • 计算$E(X)$：
      根据期望值的定义$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy$，由于积分区域$x^{2}+y^{2}\leq r^{2}$关于$y$轴对称，被积函数$xf(x,y)$是关于$x$的奇函数，根据奇函数在对称区间上的积分为$0$，可得$E(X)=\iint_{x^{2}+y^{2}\leq r^{2}}x\cdot\frac{1}{\pi r^{2}}dxdy = 0$。
    • 同理，由于积分区域$x^{2}+y^{2}\leq r^{2}$关于$x$轴对称，被积函数$yf(x,y)$是关于$y$的奇函数，所以$E(Y)=\iint_{x^{2}+y^{2}\leq r^{2}}y\cdot\frac{1}{\pi r^{2}}dxdy = 0$。
  3. 计算$E(XY)$：
    根据期望的定义$E(XY)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)dxdy$，同样因为积分区域$x^{2}+y^{2}\leq r^{2}$关于$x$轴和$y$轴对称，被积函数$xyf(x,y)$是关于$x$和$y$的奇函数，所以$E(XY)=\iint_{x^{2}+y^{2}\leq r^{2}}xy\cdot\frac{1}{\pi r^{2}}dxdy = 0$。
  4. 计算方差$D(X)$和$D(Y)$：
    • 计算$D(X)$：
      根据方差的计算公式$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，因为$E(X)=0$，所以$D(X)=E(X^2)$。
      计算$E(X^2)$：
      $E(X^2)=\iint_{x^{2}+y^{2}\leq r^{2}}x^{2}\cdot\frac{1}{\pi r^{2}}dxdy$，利用极坐标变换$x = \rho\cos\theta$，$y = \rho\sin\theta$，$dxdy = \rho d\rho d\theta$，积分区域变为$0\leq\rho\leq r$，$0\leq\theta\leq 2\pi$，则$E(X^2)=\frac{1}{\pi r^{2}}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{r}\rho^{2}\cos^{2}\theta\cdot\rho d\rho$。
      先对$\rho$积分：$\int_{0}^{r}\rho^{3}d\rho = \left[\frac{1}{4}\rho^{4}\right]_{0}^{r}=\frac{1}{4}r^{4}$。
      再对$\theta$积分：$\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}d\theta = \left[\frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\sin(2\theta)\right]_{0}^{2\pi}=\pi$。
      所以$E(X^2)=\frac{1}{\pi r^{2}}\cdot\pi\cdot\frac{1}{4}r^{4}=\frac{r^{2}}{4}$，即$D(X)=\frac{r^{2}}{4}$。
    • 同理可得$D(Y)=\frac{r^{2}}{4}$。
  5. 计算相关系数$\rho_{XY}$：
    根据相关系数的定义$\rho_{XY} = \frac{E(XY) - E(X)E(Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，将$E(X)=0$，$E(Y)=0$，$E(XY)=0$，$D(X)=\frac{r^{2}}{4}$，$D(Y)=\frac{r^{2}}{4}$代入可得：
    $\rho_{XY} = \frac{0 - 0}{\sqrt{\frac{r^{2}}{4}}\sqrt{\frac{r^{2}}{4}}}= 0$。