题目
14)设 (x)=arctan dfrac (1+x)(1-x), 整数 geqslant 0, 则 ^(2n+1)(0)= __
题目解答
答案
解: ∵f(x)=arctan(1+x)/(1-x) ∴f'(x)=1/[1+(1+x)²/(1-x)²][(1-x)+(1+x)]/(1-x)² =2/[(1-x)²+(1+x)²] =2/(2+2x²) =1/(1+x²) ∴f''(x)=-2x/(1+x²)² f'''(x)=[-2(1+x²)²+2x*2(1+x²)*2x]/(1+x²)⁴ =2(2x⁴+2x²-1)/(1+x²)⁴ ∴$f^{2n+1}(x)=2(2x^{2n+4}+2x^{2n+2}-1)/(1+x$²)⁴ ∴$f^{2n+1}(0)=2(-1)/(1+0)$⁴=-2
解析
步骤 1：求导数
首先，我们对函数 $f(x)=\arctan \dfrac {1+x}{1-x}$ 求导。利用链式法则和商的导数公式，我们得到：
$$
f'(x) = \frac{1}{1 + \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
$$
步骤 2：简化导数表达式
对 $\frac{1+x}{1-x}$ 求导，得到：
$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \frac{(1-x) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}
$$
因此，$f'(x)$ 可以简化为：
$$
f'(x) = \frac{1}{1 + \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2 + (1+x)^2} = \frac{2}{2 + 2x^2} = \frac{1}{1 + x^2}
$$
步骤 3：求高阶导数
我们注意到 $f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$，这是一个标准的导数形式，其高阶导数可以通过递归关系求得。对于 $f^{(2n+1)}(x)$，我们有：
$$
f^{(2n+1)}(x) = \frac{d^{2n+1}}{dx^{2n+1}}\left(\frac{1}{1 + x^2}\right)
$$
步骤 4：计算 $f^{(2n+1)}(0)$
由于 $f^{(2n+1)}(x)$ 是一个奇数阶导数，且 $f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$，我们可以观察到 $f^{(2n+1)}(0)$ 的值只取决于 $x=0$ 时的导数形式。由于 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处的值为 $1$，且高阶导数在 $x=0$ 处的值只取决于奇数阶导数的符号和形式，我们可以得出：
$$
f^{(2n+1)}(0) = (-1)^n \cdot 2
$$
首先，我们对函数 $f(x)=\arctan \dfrac {1+x}{1-x}$ 求导。利用链式法则和商的导数公式，我们得到：
$$
f'(x) = \frac{1}{1 + \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
$$
步骤 2：简化导数表达式
对 $\frac{1+x}{1-x}$ 求导，得到：
$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \frac{(1-x) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}
$$
因此，$f'(x)$ 可以简化为：
$$
f'(x) = \frac{1}{1 + \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2 + (1+x)^2} = \frac{2}{2 + 2x^2} = \frac{1}{1 + x^2}
$$
步骤 3：求高阶导数
我们注意到 $f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$，这是一个标准的导数形式，其高阶导数可以通过递归关系求得。对于 $f^{(2n+1)}(x)$，我们有：
$$
f^{(2n+1)}(x) = \frac{d^{2n+1}}{dx^{2n+1}}\left(\frac{1}{1 + x^2}\right)
$$
步骤 4：计算 $f^{(2n+1)}(0)$
由于 $f^{(2n+1)}(x)$ 是一个奇数阶导数，且 $f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$，我们可以观察到 $f^{(2n+1)}(0)$ 的值只取决于 $x=0$ 时的导数形式。由于 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处的值为 $1$，且高阶导数在 $x=0$ 处的值只取决于奇数阶导数的符号和形式，我们可以得出：
$$
f^{(2n+1)}(0) = (-1)^n \cdot 2
$$