题目
208.设函数f(x)=} (x^2-a)/(x-2),xneq2b,x=2在(-∞,+∞)内连续，则a-b=____
208.设函数$f(x)=\begin{cases} \frac{x^{2}-a}{x-2},x\neq2\\b,x=2\end{cases}$在(-∞,+∞)内连续，则a-b=____
题目解答
答案
为了使函数 $ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a}{x - 2}, & x \neq 2 \\ b, & x = 2 \end{cases} $ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内连续，需满足：
1. **消除可去间断点**：当 $ x \to 2 $ 时，分子 $ x^2 - a $ 应有因式 $ x - 2 $，即 $ 2^2 - a = 0 $，解得 $ a = 4 $。
2. **计算极限**：代入 $ a = 4 $，得 $ f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 $（$ x \neq 2 $），则 $ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 $。
3. **连续条件**：$ f(2) = b = \lim_{x \to 2} f(x) = 4 $，故 $ b = 4 $。
4. **求差值**：$ a - b = 4 - 4 = 0 $。
**答案：** $\boxed{0}$
解析
考查要点：本题主要考查函数连续性的条件及分段函数在分段点处连续的判定方法。
解题核心思路：
- 消除可去间断点：当分母因式为$x-2$时，分子在$x=2$处必须也为0，使得极限存在。
- 化简表达式：通过因式分解约分，求出$x \to 2$时的极限值。
- 连续条件：函数在$x=2$处的定义值$b$必须等于该极限值。
关键点：通过分子为0的条件确定$a$，再通过极限求$b$，最终计算$a-b$。
步骤1：确定$a$的值
当$x \to 2$时，分母$x-2 \to 0$，为使极限存在，分子$x^2 - a$也需趋近于0，即：
$2^2 - a = 0 \implies a = 4.$
步骤2：化简表达式并求极限
将$a=4$代入原式，分子分解为：
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2).$
因此，当$x \neq 2$时，函数可化简为：
$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.$
此时，极限值为：
$\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 2 = 4.$
步骤3：确定$b$的值
根据连续性条件，函数在$x=2$处的值$b$必须等于极限值，即：
$b = 4.$
步骤4：计算$a - b$
最终结果为：
$a - b = 4 - 4 = 0.$