题目
63、求极限lim _(narrow infty )dfrac ({5)^n-(3)^n}({5)^n+(2)^n}
63、求极限
题目解答
答案
解：
解析
步骤 1：提取公因式
我们首先观察到分子和分母中都含有${5}^{n}$项，因此可以提取${5}^{n}$作为公因式，以便简化极限的计算。
步骤 2：简化表达式
提取公因式后，分子变为$1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}$，分母变为$1+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}$。这样，极限问题就转化为求这两个新表达式的极限。
步骤 3：求极限
由于$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}$和$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}$都是以小于1的数为底的指数函数，当$n$趋向于无穷大时，这两个表达式都趋向于0。因此，原极限问题简化为求$\dfrac{1-0}{1+0}$的值。
我们首先观察到分子和分母中都含有${5}^{n}$项，因此可以提取${5}^{n}$作为公因式，以便简化极限的计算。
步骤 2：简化表达式
提取公因式后，分子变为$1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}$，分母变为$1+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}$。这样，极限问题就转化为求这两个新表达式的极限。
步骤 3：求极限
由于$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}$和$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}$都是以小于1的数为底的指数函数，当$n$趋向于无穷大时，这两个表达式都趋向于0。因此，原极限问题简化为求$\dfrac{1-0}{1+0}$的值。