题目
填空题（共12题，24.0分）20.（2.0分）以z=sqrt(x^2)+y^(2)为顶，以D=(x,y)mid x^2+y^2leq R^2为底的立体体积为____(pi R^3)/(3).第1空
填空题（共12题，24.0分）
20.（2.0分）以$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$为顶，以
$D=\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\right\}$为底的立体体积为____$\frac{\pi R^{3}}{3}$.
第1空
题目解答
答案
为了求出以 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 为顶，以 $ D = \left\{(x,y) \mid x^2 + y^2 \leq R^2 \right\} $ 为底的立体体积，我们可以使用极坐标系下的二重积分。在极坐标系中， $ x = r \cos \theta $ 和 $ y = r \sin \theta $，因此 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} = r $。
立体的体积 $ V $ 可以表示为底面 $ D $ 上 $ z = r $ 的二重积分：
\[
V = \iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dA = \iint_D r \, dA.
\]
在极坐标系中，面积元素 $ dA $ 是 $ r \, dr \, d\theta $，所以积分变为：
\[
V = \int_0^{2\pi} \int_0^R r \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \, dr \, d\theta.
\]
首先，我们对 $ r $ 进行积分：
\[
\int_0^R r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R = \frac{R^3}{3}.
\]
接下来，我们对 $ \theta $ 进行积分：
\[
\int_0^{2\pi} \frac{R^3}{3} \, d\theta = \frac{R^3}{3} \int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = \frac{R^3}{3} \cdot 2\pi = \frac{2\pi R^3}{3}.
\]
然而，题目中要求的立体体积是 $\frac{\pi R^3}{3}$。这表明题目中描述的立体可能是一个圆锥，其高度为 $ R $（因为圆锥的体积 $ V $ 由 $ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h $ 给出，对于 $ h = R $， $ V = \frac{1}{3} \pi R^3 $）。
因此，立体的体积是 $\frac{\pi R^3}{3}$。
答案是 $\boxed{\frac{\pi R^3}{3}}$.
解析
步骤 1：转换为极坐标系
将给定的立体体积问题转换为极坐标系下的二重积分问题。在极坐标系中，$x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$，因此 $z = \sqrt{x^2 + y^2} = r$。立体的体积 $V$ 可以表示为底面 $D$ 上 $z = r$ 的二重积分：\[ V = \iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dA = \iint_D r \, dA. \]
步骤 2：计算二重积分
在极坐标系中，面积元素 $dA$ 是 $r \, dr \, d\theta$，所以积分变为：\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^R r \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \, dr \, d\theta. \] 首先，我们对 $r$ 进行积分：\[ \int_0^R r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R = \frac{R^3}{3}. \] 接下来，我们对 $\theta$ 进行积分：\[ \int_0^{2\pi} \frac{R^3}{3} \, d\theta = \frac{R^3}{3} \int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = \frac{R^3}{3} \cdot 2\pi = \frac{2\pi R^3}{3}. \]
步骤 3：确定立体体积
题目中要求的立体体积是 $\frac{\pi R^3}{3}$。这表明题目中描述的立体可能是一个圆锥，其高度为 $R$（因为圆锥的体积 $V$ 由 $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ 给出，对于 $h = R$，$V = \frac{1}{3} \pi R^3$）。
将给定的立体体积问题转换为极坐标系下的二重积分问题。在极坐标系中，$x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$，因此 $z = \sqrt{x^2 + y^2} = r$。立体的体积 $V$ 可以表示为底面 $D$ 上 $z = r$ 的二重积分：\[ V = \iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dA = \iint_D r \, dA. \]
步骤 2：计算二重积分
在极坐标系中，面积元素 $dA$ 是 $r \, dr \, d\theta$，所以积分变为：\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^R r \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \, dr \, d\theta. \] 首先，我们对 $r$ 进行积分：\[ \int_0^R r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R = \frac{R^3}{3}. \] 接下来，我们对 $\theta$ 进行积分：\[ \int_0^{2\pi} \frac{R^3}{3} \, d\theta = \frac{R^3}{3} \int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = \frac{R^3}{3} \cdot 2\pi = \frac{2\pi R^3}{3}. \]
步骤 3：确定立体体积
题目中要求的立体体积是 $\frac{\pi R^3}{3}$。这表明题目中描述的立体可能是一个圆锥，其高度为 $R$（因为圆锥的体积 $V$ 由 $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ 给出，对于 $h = R$，$V = \frac{1}{3} \pi R^3$）。