题目

2、某型号器件的寿命X（以小时计）具有概率密度f(x)=}(1000)/(x^2),&x>10000,&其它.现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取3只，问其中至少有一只寿命大于3000小时的概率是多少？

2、某型号器件的寿命X（以小时计）具有概率密度$f(x)=\begin{cases}\frac{1000}{x^{2}},&x>1000\\0,&其它\end{cases}$.现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取3只，问其中至少有一只寿命大于3000小时的概率是多少？

题目解答

答案

为了求解这个问题，我们首先需要确定单个器件寿命大于3000小时的概率。然后，利用这个概率，我们可以计算出3个器件中至少有一个寿命大于3000小时的概率。 ### 步骤1：计算单个器件寿命大于3000小时的概率 器件的寿命 $X$ 的概率密度函数为： \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1000}{x^2}, & x > 1000 \\ 0, & \text{其它} \end{cases} \] 我们需要计算 $P(X > 3000)$。这可以通过对概率密度函数在 $3000$ 到 $\infty$ 的区间上积分得到： \[ P(X > 3000) = \int_{3000}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{3000}^{\infty} \frac{1000}{x^2} \, dx \] 计算这个积分： \[ \int_{3000}^{\infty} \frac{1000}{x^2} \, dx = 1000 \int_{3000}^{\infty} x^{-2} \, dx = 1000 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{3000}^{\infty} = 1000 \left( 0 + \frac{1}{3000} \right) = \frac{1000}{3000} = \frac{1}{3} \] 所以，单个器件寿命大于3000小时的概率是 $\frac{1}{3}$。 ### 步骤2：计算3个器件中至少有一个寿命大于3000小时的概率 设 $Y$ 为3个器件中寿命大于3000小时的器件数量。 $Y$ 服从二项分布，参数为 $n = 3$ 和 $p = \frac{1}{3}$。我们 interested in $P(Y \geq 1)$。利用二项分布的性质，我们可以先计算 $P(Y = 0)$ 然后用 $1 - P(Y = 0)$ 得到 $P(Y \geq 1)$。 \[ P(Y = 0) = \left(1 - \frac{1}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \] 因此， \[ P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27} \] ### 最终答案 3个器件中至少有一个寿命大于3000小时的概率是 $\boxed{\frac{19}{27}}$。

解析

本题考查连续型随机变量的概率计算以及二项分布的应用。解题思路如下：

  1. 首先，根据给定的概率密度函数，通过积分计算出单个器件寿命大于$3000$小时的概率。
  2. 然后，由于各器件损坏与否相互独立，任取$3$只器件，其中寿命大于$3000$小时的器件数量服从二项分布。
  3. 最后，利用二项分布的性质，通过计算“$3$个器件中没有一个寿命大于$3000$小时”的概率，再用$1$减去该概率，得到“至少有一只寿命大于$3000$小时”的概率。

步骤1：计算单个器件寿命大于$3000$小时的概率

已知器件的寿命$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1000}{x^{2}},&x > 1000\\0,&其它\end{cases}$。
根据连续型随机变量概率的计算方法，$P(X > 3000)$可通过对概率密度函数在$3000$到$\infty$的区间上积分得到，即：
$\begin{align*}P(X > 3000) &= \int_{3000}^{\infty} f(x) \, dx\\&= \int_{3000}^{\infty} \frac{1000}{x^2} \, dx\\&= 1000 \int_{3000}^{\infty} x^{-2} \, dx\\&= 1000 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{3000}^{\infty}\\&= 1000 \left( 0 + \frac{1}{3000} \right)\\&= \frac{1000}{3000}\\&= \frac{1}{3}\end{align*}$
所以，单个器件寿命大于$3000$小时的概率是$\frac{1}{3}$。

步骤2：计算$3$个器件中至少有一个寿命大于$3000$小时的概率

设$Y$为$3$个器件中寿命大于$3000$小时的器件数量，因为各器件相互独立，且每个器件寿命大于$3000$小时的概率为$\frac{1}{3}$，所以$Y$服从参数为$n = 3$和$p = \frac{1}{3}$的二项分布，即$Y\sim B(3,\frac{1}{3})$。
我们要求$P(Y \geq 1)$，根据概率的性质$P(Y \geq 1)=1 - P(Y = 0)$。
由二项分布的概率公式$P(Y = k)=C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，可得$P(Y = 0)=C_{3}^{0}(\frac{1}{3})^{0}(1 - \frac{1}{3})^{3}$。
因为$C_{3}^{0}=\frac{3!}{0!(3 - 0)!}=1$，$(\frac{1}{3})^{0}=1$，所以$P(Y = 0)=1\times1\times(\frac{2}{3})^{3}=\frac{8}{27}$。
则$P(Y \geq 1)=1 - P(Y = 0)=1 - \frac{8}{27}=\frac{19}{27}$。