(4)设当x→+∞时，f(x)，g(x)都是无穷大，则当x→+∞时，下列结论正确的是( ).A.f(x)-g(x)是无穷小 B.f(x)+g(x)是无穷大C.(g(x))/(f(x))to1 D.(f(x)+g(x))/(f(x)g(x))是无穷小
题目解答
答案
这是一道关于无穷大和无穷小性质的极限题目。我们需要根据已知条件“当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$f(x), g(x)$ 都是无穷大”，来判断四个选项中哪个结论是必然正确的。
首先，明确“无穷大”的定义：当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$f(x)$ 是无穷大意味着 $\lim_{x \rightarrow +\infty} |f(x)| = +\infty$。同理，$\lim_{x \rightarrow +\infty} |g(x)| = +\infty$。
接下来，我们逐一分析四个选项：
A选项：$f(x) - g(x)$ 是无穷小
两个无穷大的差属于“$\infty - \infty$”型未定式，其极限结果是不确定的。它可能是无穷大，也可能是无穷小，或者是一个常数。
- 反例：设 $f(x) = x^2$，$g(x) = x$。当 $x \rightarrow +\infty$ 时，两者都是无穷大。但 $f(x) - g(x) = x^2 - x$。当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$x^2 - x \rightarrow +\infty$，这是一个无穷大，而不是无穷小。
- 因此，A选项不一定正确。
B选项：$f(x) + g(x)$ 是无穷大
两个无穷大的和属于“$\infty + \infty$”型，但需要注意无穷大包含正无穷大和负无穷大。
- 反例：设 $f(x) = x$，$g(x) = -x$。当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$f(x) \rightarrow +\infty$，$g(x) \rightarrow -\infty$，两者都是无穷大。但 $f(x) + g(x) = x + (-x) = 0$。极限为 $0$，这是一个常数，而不是无穷大。
- 因此，B选项不一定正确。
C选项：$\frac{g(x)}{f(x)} \rightarrow 1$
两个无穷大的比值属于“$\frac{\infty}{\infty}$”型未定式，其极限取决于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 趋于无穷大的速度（阶数）。
- 反例：设 $f(x) = x^2$，$g(x) = x$。当 $x \rightarrow +\infty$ 时，两者都是无穷大。但 $\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$。当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \rightarrow 0$，而不是 $1$。
- 因此，C选项不一定正确。
D选项：$\frac{f(x) + g(x)}{f(x)g(x)}$ 是无穷小
我们可以对这个表达式进行代数变形：
$\frac{f(x) + g(x)}{f(x)g(x)} = \frac{f(x)}{f(x)g(x)} + \frac{g(x)}{f(x)g(x)} = \frac{1}{g(x)} + \frac{1}{f(x)}$
已知当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 都是无穷大，即 $\lim_{x \rightarrow +\infty} |f(x)| = +\infty$ 且 $\lim_{x \rightarrow +\infty} |g(x)| = +\infty$。
根据无穷大的倒数是无穷小的性质，可知：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{f(x)} = 0$
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{g(x)} = 0$
根据极限的加法法则，两个无穷小的和仍然是无穷小：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \frac{1}{g(x)} + \frac{1}{f(x)} \right) = 0 + 0 = 0$
所以，$\frac{f(x) + g(x)}{f(x)g(x)}$ 是无穷小。
- 因此，D选项是正确的。
综上所述，正确的结论是D。
解析
本题考查无穷大和无穷小的性质以及极限的运算法则。解题的关键在于理解无穷大的概念，即当$x \rightarrow +\infty$时，$\lim_{x \rightarrow +\infty} |f(x)| = +\infty$且$\lim_{x \rightarrow +\infty} |g(x)| = +\infty$，然后根据极限的运算法则对每个选项进行分析判断。
选项A分析
两个无穷大的差属于“$\infty - \infty$”型未定式，其极限结果不确定。
设$f(x) = x^2$，$g(x) = x$，当$x \rightarrow +\infty$时，$f(x)$和$g(x)$都是无穷大。
计算$f(x) - g(x)$：
$f(x) - g(x)=x^2 - x$
根据极限运算法则$\lim_{x \rightarrow +\infty}(x^2 - x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}x^2-\lim_{x \rightarrow +\infty}x$，因为$\lim_{x \rightarrow +\infty}x^2 = +\infty$，$\lim_{x \rightarrow +\infty}x = +\infty$，且$x^2$增长速度远快于$x$，所以$\lim_{x \rightarrow +\infty}(x^2 - x)= +\infty$，这是一个无穷大，而不是无穷小。
因此，A选项不一定正确。
选项B分析
两个无穷大的和属于“$\infty + \infty$”型，但要注意无穷大包含正无穷大和负无穷大。
设$f(x) = x$，$g(x) = -x$，当$x \rightarrow +\infty$时，$f(x) \rightarrow +\infty$，$g(x) \rightarrow -\infty$，两者都是无穷大。
计算$f(x) + g(x)$：
$f(x) + g(x)=x + (-x)=0$
所以$\lim_{x \rightarrow +\infty}(f(x) + g(x)) = 0$，这是一个常数，而不是无穷大。
因此，B选项不一定正确。
选项C分析
两个无穷大的比值属于“$\frac{\infty}{\infty}$”型未定式，其极限取决于$f(x)$和$g(x)$趋于无穷大的速度（阶数）。
设$f(x) = x^2$，$g(x) = x$，当$x \rightarrow +\infty$时，$f(x)$和$g(x)$都是无穷大。
计算$\frac{g(x)}{f(x)}$：
$\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}$
根据极限运算法则$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{1}{x} = 0$，而不是$1$。
因此，C选项不一定正确。
选项D分析
对$\frac{f(x) + g(x)}{f(x)g(x)}$进行代数变形：
$\frac{f(x) + g(x)}{f(x)g(x)} = \frac{f(x)}{f(x)g(x)} + \frac{g(x)}{f(x)g(x)} = \frac{1}{g(x)} + \frac{1}{f(x)}$
已知当$x \rightarrow +\infty$时，$f(x)$和$g(x)$都是无穷大，即$\lim_{x \rightarrow +\infty} |f(x)| = +\infty$且$\lim_{x \rightarrow +\infty} |g(x)| = +\infty$。
根据无穷大的倒数是无穷小的性质，可知：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{f(x)} = 0$
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{g(x)} = 0$
根据极限的加法法则，两个无穷小的和仍然是无穷小：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \frac{1}{g(x)} + \frac{1}{f(x)} \right) = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{g(x)} + \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{f(x)} = 0 + 0 = 0$
所以，$\frac{f(x) + g(x)}{f(x)g(x)}$是无穷小。
因此，D选项是正确的。